1、专题30：抛物线的范围问题一、单选题1抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）ABCD二、解答题2已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，直线经过抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线相交于、两点，过、两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.3已知直线l1，l2分别于抛物线y2x相切于A，B两点（1）若点A的坐标为（1，1），求直线l1的方程；（2）若直线l1与l2的交点为P，且点P在圆（x+2）2+y21上，设直线l1，l2与y轴分别交于点M，N，求的取值范围4已知抛物线的焦点为，经过点
2、作倾斜角为的直线交于，两点，且弦的长（1）求抛物线的方程；（2）设直线的方程为，且与相交于，两点，若是关于原点的对称点，记直线，的斜率分别为，求的取值范围5如图，椭圆的左顶点为，离心率为，长轴长为4，椭圆和抛物线有相同的焦点，直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点（1）求抛物线的方程；（2）若点，满足，求的取值范围6已知抛物线，过不在y轴上的点P作C的两条切线，切点分别为直线与y轴交于点M，直线（O为坐标原点）与交于点N，且（1）证明M是一个定点；（2）求的最小值7已知抛物线的焦点为，且点是抛物线上的动点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于，两点（）求抛物线C的方程； （）当直线垂直于直线时，
3、求实数的取值范围8若抛物线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围.9如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于.（）求p的值；（）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，求N的横坐标的取值范围10如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连接并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为，设.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）求的取值范围.11如图，已知抛物线：与圆：有四个不同的公共点，.（）求的取值范围；（）求四边形面积的最大值.12已知抛物线：和直线：，是抛物线上的点，且点到轴的距
4、离与到直线的距离之和的最小值（1）求抛物线的方程；（2）设，过点作抛物线的两条切线，切点分别记为，抛物线在点处的切线与，分别交于，两点，求外接圆面积的最小值.13已知：抛物线，过外点作的两条切线，切点分别为、.（）若，求两条切线的方程；（）点是椭圆上的动点，求面积的取值范围.参考答案1A【分析】设、，根据抛物线的定义，有，结合余弦定理与基本不等式即可求解【解析】设、，如图所示，根据抛物线的定义，可知、，在梯形中，有，在中，又，故的最大值是，故选：A【点评】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的
5、点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决2（1）；（2）9.【分析】（1）由直线经过抛物线的焦点，解得；（2）联立方程，利用弦长公式表示，分别表示两条切线的方程，得到点坐标，利用点到直线距离公式，表示三角形的高，从而得到三角形的面积表达式，求最值即可.【解析】解：（1）设抛物线的方程为.直线经过抛物线的焦点，解得.抛物线的方程为.（2）设、，由，得.，.由得.抛物线经过点的切线方程是，将代入上式整理得.同理可得抛物线经过点的切线方程为.解方程组得，.到直线的距离，的面积.，.当时，.面积的最小值为.3（1）x+2y+10；（2）.【分
6、析】（1）设直线l1：y+1k（x1），与抛物线方程联立，再由根的判别式等于零求得直线的斜率，由此可求得直线的方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求得直线，直线，得到点，表示出直线AB方程，与抛物线方程联立，由根与系数的关系表示，可求得范围【解析】（1）由题意知直线l1，l2的斜率一定存在，设直线l1：y+1k（x1），与抛物线方程联立，得ky2yk10由1+4k（k+1）0，得，则l1的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l1： ，与抛物线方程y2x联立，得由 ，解得，所以直线，同理得直线，则，设点P（x0，y0），代入可得，则直线AB方程为与抛物线方程联立，
7、得y22y0y+x00，则有y1+y22y0，y1y2x0则，所以又点P在圆（x+2）2+y21上，所以，即，所以.所以的取值范围为.【点评】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.4（1）；（2）【分析】(1)设出直线的方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，由弦长公式可得答案.(2)由直线直线的方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，由判别式求出参数的范
8、围，设出，两点坐标，表示出，将韦达定理代入，根据参数的范围可求出答案.【解析】（1）设，依题意，知直线的方程为，即，将它代入抛物线的方程中，并整理得由韦达定理得，其对恒成立；由弦长公式得，化简得且，解得故抛物线的方程为（2）设，由（1）易得，则依题意知而；又因，两点在直线上，于是，代入式整理得将的方程代入的方程中，化简得，由韦达定理得，其且，解得且；将式代入式化简得且 分情况讨论如下：当时，由均值不等式得，当且仅当，且，即时取等号；当时，令，则对恒成立，从而知在区间上单调递增，所以综上得的取值范围为【点评】关键点睛：本题考查根据弦长求抛物线的方程和考查直线与抛物线的位置关系，解答本题的关键是由
9、，两点坐标，表示出，将韦达定理代入可得，从而由参数的范围求解，属于中档题.5（1）；（2）【分析】（1）根据题意可得，再根据即可求解.（2）将直线与椭圆方程联立，设，利用韦达定理可得，再将直线与抛物线方程联立设，利用韦达定理可得，再由从而可得，配方即可求解.【解析】（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以，因为椭圆和抛物线有相同的焦点，所以，即，所以抛物线的方程为（2）由（1）知椭圆，由得，得，设，则，所以易知，所以由得，得设，则，所以，所以所以，易知函数在上单调递减，所以【点评】方法点睛：求解圆锥曲线中最值或范围问题的一般方法：一是建立关系，二是求最值或范围，即先由题设条件建立关于所求目标
10、的函数关系式，再对目标函数求最值，如本题中需先将直线方程分别与椭圆、抛物线方程联立，利用根与系数的关系将，用表示出来，再结合的范围及函数的单调性求的取值范围6（1）证明见解析；（2）【分析】（1）利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线和方程，可得直线的方程为，由直线的斜率为，结合可求得，即可得出定点；（2）由点到直线的距离公式及两点之间的距离公式求得，利用基本不等式的性质即可求得的最大值，进而得出所求.【解析】解：（1）证明：设，显然，设，由，求导，则直线的斜率，直线的方程：，则，即，同理直线的方程：，由直线过切点P，则，则A和B的坐标满足，直线的方程为，则直线的斜率为，直线的斜率为，由，即，
11、则，则直线的方程，与y轴的交点M是定点；（2）由（1），则为P到直线的距离，由，由，当且仅当，即时，取等号，则的最小值【点评】关键点睛：本题考查抛物线中直线过定点问题，考查最值的求解，解题的关键是利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线和方程，得出直线的方程为，得出，用基本不等式的性质即可求得的最大值.7（）；（）.【分析】（）由抛物线的焦点为，得，求得，则抛物线方程可求；（）设，由题意可知，不与轴垂直，设，分别与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求得的纵坐标，得到的斜率，再由直线与圆相切，可得，得到，写出的斜率，再由，结合点在抛物线上，求得，由此求解实数的取值范围.【解析】（）因为抛物线的焦点
12、为，所以，则，所以抛物线方程为：；（）设，由题意可知，不与轴垂直，设，由，得，则，得，同理可得，所以，若过M的直线与圆相切，可得，化简得，则，又，所以，所以，即，将代入，化简得，即，因为，所以，即，得，所以实数的取值范围是.【点评】方法点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，解题方法如下：（1）结合抛物线的焦点坐标求得的值，得到抛物线的方程；（2）根据题意，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求得点的纵坐标，利用斜率坐标公式求得其斜率；（3）根据直线与圆相切，得到等量关系式；（4）根据两直线垂直得到其斜率乘积等于；（5）根据坐标的范围得到不等关系，求得参数的取值范围.8【分析】设是
13、抛物线上关于直线对称的两点，AB的中点，则，两式相减化简得到，再由，求得点P的坐标，然后根据点p在抛物线内部,由求解.【解析】设是抛物线上关于直线对称的两点，则，设AB的中点.又，点p在抛物线内部,，即，1)当，则，即无解；2)当则，即故.9（）2；（）.【分析】（）利用抛物线的定义，转化求解的值；（）由（）得抛物线的方程为，可设，设直线，联立消去得，求出的坐标，求出直线，由解得的横坐标是，其中，然后求解即可【解析】解：（）由题意可得抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离 由抛物线的定义得，即 （）由（）得抛物线的方程为，可设， 由题知不垂直于轴，可设直线，由消去得， 故，所以又直线的斜率为
14、，故直线的斜率为，从而的直线，直线， 由解得的横坐标是，其中，或综上，点的横坐标的取值范围是，【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题10（I） ，；（II） 【解析】试题分析：（ ）由题意得得，根据点M在抛物线上得，又由，得 ，可得，解得，从而得，可得曲线方程（ ）设，分析可得，先设出直线的方程为 ，由，解得，从而可求得，同理可得,故可将化为m的代数式，用基本不等式求解可得结果试题解析：（）由抛物线定义可得，点M在抛物线上，即 又由，得 将上式代入，得解得，所以曲线的方程为，曲线的方程为 （）设直线的方程为，由消去y整理得，设，.则，设，则，所
15、以， 设直线的方程为 ，由，解得，所以，由可知，用代替，可得， 由，解得，所以，用代替，可得所以，当且仅当时等号成立所以的取值范围为. 点睛：解决圆锥曲线的最值与范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围11（）；（）.【分析】（）联立抛物线与圆的方程，由题意可得在上有两个不同的解，即，解不等式组可得答案.（）用半径表示出四边形的面积为，
16、令，此时，构造函数，求导判单调性，由单调性即可得到最值.【解析】（）联立得.由题可知，在上有两个不同的解，所以，得，所以.（）设，由韦达定理可知，.又.，所以.令，则，此时.记，.当时，当时，.所以在上单调递增，在单调递减.所以，得四边形的最大值为.【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查利用导数研究函数的最值问题，属于中档题.12（1）；（2）.【分析】（1）根据抛物线定义求解方程；（2）设，抛物线在处的切线，设，可得，的方程，将直线方程与抛物线方程联立，再利用韦达定理及三角形的面积公式及中正弦定理，即可得答案；【解析】设抛物线焦点为，作轴延长交抛物线准线于点，作于点，
17、作于点，焦点到直线的距离，解得因此抛物线的方程为.（2）设抛物线在处的切线设，联立与抛物线：，整理得相切：，即同理可得：，因此，是方程的两根，判别式：，即，成立韦达定理；，到角公式；，则联立与，解得，同理可得：弦长公式：在中使用正弦定理：.，面积最小值为.【点评】本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合问题，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意运算的准确性，属于难题.13（）和；（）.【分析】（）设过点的切线方程为，与抛物线的方程联立，由可求得的值，由此可求得所求切线的方程；（）设点、，利用导数求得直线、的方程，将点的坐标代入直线、的方程，可得出两个等式，可求得直线的方程，并将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求得以及点到直线的距离，可求得的面积，然后利用椭圆方程可将的面积表示为有关的函数，由此可求得面积的取值范围.【解析】（）设过点的切线方程为，将其代入，可得，因为直线与抛物线相切，解得.因此，所求的两条切线的方程为和；（）设、，由，可得，则切线的方程为，又，即.同理，切线的方程为.又和都过点，.直线方程为，即. 联立，得.,由韦达定理得，. 点到直线的距离为，的面积.，.【点评】本题考查抛物线的切线方程的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的求解，考查了抛物线切点弦方程的求解，考查计算能力，属于较难题.
