1、专题30:抛物线的范围问题一、单选题1抛物线()的焦点为,准线为,、是抛物线上两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是( )ABCD二、解答题2已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴的正半轴上,直线经过抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;(2)若直线与抛物线相交于、两点,过、两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点,求面积的最小值.3已知直线l1,l2分别于抛物线y2x相切于A,B两点(1)若点A的坐标为(1,1),求直线l1的方程;(2)若直线l1与l2的交点为P,且点P在圆(x+2)2+y21上,设直线l1,l2与y轴分别交于点M,N,求的取值范围4已知抛物线的焦点为,经过点
2、作倾斜角为的直线交于,两点,且弦的长(1)求抛物线的方程;(2)设直线的方程为,且与相交于,两点,若是关于原点的对称点,记直线,的斜率分别为,求的取值范围5如图,椭圆的左顶点为,离心率为,长轴长为4,椭圆和抛物线有相同的焦点,直线与椭圆交于,两点,与抛物线交于,两点(1)求抛物线的方程;(2)若点,满足,求的取值范围6已知抛物线,过不在y轴上的点P作C的两条切线,切点分别为直线与y轴交于点M,直线(O为坐标原点)与交于点N,且(1)证明M是一个定点;(2)求的最小值7已知抛物线的焦点为,且点是抛物线上的动点,过作圆的两条切线,分别交抛物线于,两点()求抛物线C的方程; ()当直线垂直于直线时,
3、求实数的取值范围8若抛物线上存在关于直线对称的两点,求的取值范围.9如图,设抛物线的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于.()求p的值;()若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,求N的横坐标的取值范围10如图,椭圆:的左右焦点分别为,离心率为,过抛物线:焦点的直线交抛物线于两点,当时,点在轴上的射影为,连接并延长分别交于两点,连接,与的面积分别记为,设.(1)求椭圆和抛物线的方程;(2)求的取值范围.11如图,已知抛物线:与圆:有四个不同的公共点,.()求的取值范围;()求四边形面积的最大值.12已知抛物线:和直线:,是抛物线上的点,且点到轴的距
4、离与到直线的距离之和的最小值(1)求抛物线的方程;(2)设,过点作抛物线的两条切线,切点分别记为,抛物线在点处的切线与,分别交于,两点,求外接圆面积的最小值.13已知:抛物线,过外点作的两条切线,切点分别为、.()若,求两条切线的方程;()点是椭圆上的动点,求面积的取值范围.参考答案1A【分析】设、,根据抛物线的定义,有,结合余弦定理与基本不等式即可求解【解析】设、,如图所示,根据抛物线的定义,可知、,在梯形中,有,在中,又,故的最大值是,故选:A【点评】方法点睛:与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛物线上的
5、点到准线距转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决2(1);(2)9.【分析】(1)由直线经过抛物线的焦点,解得;(2)联立方程,利用弦长公式表示,分别表示两条切线的方程,得到点坐标,利用点到直线距离公式,表示三角形的高,从而得到三角形的面积表达式,求最值即可.【解析】解:(1)设抛物线的方程为.直线经过抛物线的焦点,解得.抛物线的方程为.(2)设、,由,得.,.由得.抛物线经过点的切线方程是,将代入上式整理得.同理可得抛物线经过点的切线方程为.解方程组得,.到直线的距离,的面积.,.当时,.面积的最小值为.3(1)x+2y+10;(2).【分
6、析】(1)设直线l1:y+1k(x1),与抛物线方程联立,再由根的判别式等于零求得直线的斜率,由此可求得直线的方程(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),求得直线,直线,得到点,表示出直线AB方程,与抛物线方程联立,由根与系数的关系表示,可求得范围【解析】(1)由题意知直线l1,l2的斜率一定存在,设直线l1:y+1k(x1),与抛物线方程联立,得ky2yk10由1+4k(k+1)0,得,则l1的方程为(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l1: ,与抛物线方程y2x联立,得由 ,解得,所以直线,同理得直线,则,设点P(x0,y0),代入可得,则直线AB方程为与抛物线方程联立,
7、得y22y0y+x00,则有y1+y22y0,y1y2x0则,所以又点P在圆(x+2)2+y21上,所以,即,所以.所以的取值范围为.【点评】方法点睛:(1)解答直线与抛物线的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去 (或)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系;(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形有时若直线过x轴上的一点,可将直线设成横截式.4(1);(2)【分析】(1)设出直线的方程与抛物线方程联立,写出韦达定理,由弦长公式可得答案.(2)由直线直线的方程与抛物线方程联立,写出韦达定理,由判别式求出参数的范
8、围,设出,两点坐标,表示出,将韦达定理代入,根据参数的范围可求出答案.【解析】(1)设,依题意,知直线的方程为,即,将它代入抛物线的方程中,并整理得由韦达定理得,其对恒成立;由弦长公式得,化简得且,解得故抛物线的方程为(2)设,由(1)易得,则依题意知而;又因,两点在直线上,于是,代入式整理得将的方程代入的方程中,化简得,由韦达定理得,其且,解得且;将式代入式化简得且 分情况讨论如下:当时,由均值不等式得,当且仅当,且,即时取等号;当时,令,则对恒成立,从而知在区间上单调递增,所以综上得的取值范围为【点评】关键点睛:本题考查根据弦长求抛物线的方程和考查直线与抛物线的位置关系,解答本题的关键是由
9、,两点坐标,表示出,将韦达定理代入可得,从而由参数的范围求解,属于中档题.5(1);(2)【分析】(1)根据题意可得,再根据即可求解.(2)将直线与椭圆方程联立,设,利用韦达定理可得,再将直线与抛物线方程联立设,利用韦达定理可得,再由从而可得,配方即可求解.【解析】(1)因为椭圆的离心率为,长轴长为4,所以,因为椭圆和抛物线有相同的焦点,所以,即,所以抛物线的方程为(2)由(1)知椭圆,由得,得,设,则,所以易知,所以由得,得设,则,所以,所以所以,易知函数在上单调递减,所以【点评】方法点睛:求解圆锥曲线中最值或范围问题的一般方法:一是建立关系,二是求最值或范围,即先由题设条件建立关于所求目标
10、的函数关系式,再对目标函数求最值,如本题中需先将直线方程分别与椭圆、抛物线方程联立,利用根与系数的关系将,用表示出来,再结合的范围及函数的单调性求的取值范围6(1)证明见解析;(2)【分析】(1)利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线和方程,可得直线的方程为,由直线的斜率为,结合可求得,即可得出定点;(2)由点到直线的距离公式及两点之间的距离公式求得,利用基本不等式的性质即可求得的最大值,进而得出所求.【解析】解:(1)证明:设,显然,设,由,求导,则直线的斜率,直线的方程:,则,即,同理直线的方程:,由直线过切点P,则,则A和B的坐标满足,直线的方程为,则直线的斜率为,直线的斜率为,由,即,
11、则,则直线的方程,与y轴的交点M是定点;(2)由(1),则为P到直线的距离,由,由,当且仅当,即时,取等号,则的最小值【点评】关键点睛:本题考查抛物线中直线过定点问题,考查最值的求解,解题的关键是利用导数的几何意义及点斜式方程求得直线和方程,得出直线的方程为,得出,用基本不等式的性质即可求得的最大值.7();().【分析】()由抛物线的焦点为,得,求得,则抛物线方程可求;()设,由题意可知,不与轴垂直,设,分别与抛物线方程联立,利用根与系数的关系求得的纵坐标,得到的斜率,再由直线与圆相切,可得,得到,写出的斜率,再由,结合点在抛物线上,求得,由此求解实数的取值范围.【解析】()因为抛物线的焦点
12、为,所以,则,所以抛物线方程为:;()设,由题意可知,不与轴垂直,设,由,得,则,得,同理可得,所以,若过M的直线与圆相切,可得,化简得,则,又,所以,所以,即,将代入,化简得,即,因为,所以,即,得,所以实数的取值范围是.【点评】方法点睛:该题考查的是有关直线与抛物线的综合题,解题方法如下:(1)结合抛物线的焦点坐标求得的值,得到抛物线的方程;(2)根据题意,设出直线方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理求得点的纵坐标,利用斜率坐标公式求得其斜率;(3)根据直线与圆相切,得到等量关系式;(4)根据两直线垂直得到其斜率乘积等于;(5)根据坐标的范围得到不等关系,求得参数的取值范围.8【分析】设是
13、抛物线上关于直线对称的两点,AB的中点,则,两式相减化简得到,再由,求得点P的坐标,然后根据点p在抛物线内部,由求解.【解析】设是抛物线上关于直线对称的两点,则,设AB的中点.又,点p在抛物线内部,,即,1)当,则,即无解;2)当则,即故.9()2;().【分析】()利用抛物线的定义,转化求解的值;()由()得抛物线的方程为,可设,设直线,联立消去得,求出的坐标,求出直线,由解得的横坐标是,其中,然后求解即可【解析】解:()由题意可得抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离 由抛物线的定义得,即 ()由()得抛物线的方程为,可设, 由题知不垂直于轴,可设直线,由消去得, 故,所以又直线的斜率为
14、,故直线的斜率为,从而的直线,直线, 由解得的横坐标是,其中,或综上,点的横坐标的取值范围是,【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题10(I) ,;(II) 【解析】试题分析:( )由题意得得,根据点M在抛物线上得,又由,得 ,可得,解得,从而得,可得曲线方程( )设,分析可得,先设出直线的方程为 ,由,解得,从而可求得,同理可得,故可将化为m的代数式,用基本不等式求解可得结果试题解析:()由抛物线定义可得,点M在抛物线上,即 又由,得 将上式代入,得解得,所以曲线的方程为,曲线的方程为 ()设直线的方程为,由消去y整理得,设,.则,设,则,所
15、以, 设直线的方程为 ,由,解得,所以,由可知,用代替,可得, 由,解得,所以,用代替,可得所以,当且仅当时等号成立所以的取值范围为. 点睛:解决圆锥曲线的最值与范围问题时,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值常从以下几个方面考虑:利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;利用基本不等式求出参数的取值范围;利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围11();().【分析】()联立抛物线与圆的方程,由题意可得在上有两个不同的解,即,解不等式组可得答案.()用半径表示出四边形的面积为,
16、令,此时,构造函数,求导判单调性,由单调性即可得到最值.【解析】()联立得.由题可知,在上有两个不同的解,所以,得,所以.()设,由韦达定理可知,.又.,所以.令,则,此时.记,.当时,当时,.所以在上单调递增,在单调递减.所以,得四边形的最大值为.【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系,考查韦达定理的应用,考查利用导数研究函数的最值问题,属于中档题.12(1);(2).【分析】(1)根据抛物线定义求解方程;(2)设,抛物线在处的切线,设,可得,的方程,将直线方程与抛物线方程联立,再利用韦达定理及三角形的面积公式及中正弦定理,即可得答案;【解析】设抛物线焦点为,作轴延长交抛物线准线于点,作于点,
17、作于点,焦点到直线的距离,解得因此抛物线的方程为.(2)设抛物线在处的切线设,联立与抛物线:,整理得相切:,即同理可得:,因此,是方程的两根,判别式:,即,成立韦达定理;,到角公式;,则联立与,解得,同理可得:弦长公式:在中使用正弦定理:.,面积最小值为.【点评】本题考查抛物线的定义及直线与抛物线的综合问题,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意运算的准确性,属于难题.13()和;().【分析】()设过点的切线方程为,与抛物线的方程联立,由可求得的值,由此可求得所求切线的方程;()设点、,利用导数求得直线、的方程,将点的坐标代入直线、的方程,可得出两个等式,可求得直线的方程,并将直线的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求得以及点到直线的距离,可求得的面积,然后利用椭圆方程可将的面积表示为有关的函数,由此可求得面积的取值范围.【解析】()设过点的切线方程为,将其代入,可得,因为直线与抛物线相切,解得.因此,所求的两条切线的方程为和;()设、,由,可得,则切线的方程为,又,即.同理,切线的方程为.又和都过点,.直线方程为,即. 联立,得.,由韦达定理得,. 点到直线的距离为,的面积.,.【点评】本题考查抛物线的切线方程的求解,同时也考查了三角形面积取值范围的求解,考查了抛物线切点弦方程的求解,考查计算能力,属于较难题.