1、3.2.2 双曲线的简单几何性质222bac | |MF1|-|MF2| | =2a（0 2a|F1F2|）F ( c, 0) 12222byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1MF(0, c)椭圆双曲线aMFMF221aMFMF221)0(, 0222bbcaca)0(,0222bbacca12222byax12222bxay)0(ba22221xyab22221yxab)0, 0(baba不一定大于1、方程、方程 2222556xyxy 表示表示_。2、方程、方程表示表示_。 2222336xyxy 22225(0)5(0)6xyxy 22223(0)3(0)6xyxy 焦
2、点为焦点为(-5,0)(5,0)的双曲线的右支的双曲线的右支一条射线一条射线3 3、双曲线、双曲线mx2+ny2=mn(n0m)的焦点是的焦点是 . 0,m n 课堂练习课堂练习4 4、已知椭圆的方程、已知椭圆的方程 ，则以椭圆长轴的两顶，则以椭圆长轴的两顶点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程为点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程为_。2212516xy221916xy课堂练习课堂练习2222 -(00)1xxayabb解： 若焦点在 轴上则可设双曲，线的标准方程为:2222 1(0,0)yyxabab或焦点在 轴上，或22222222411411833811abababab依依 意 意可可得得或
3、或题题2221ab解得2212ab或（舍去）（舍去）22121xy所求双曲线的标准方程为(待定系数法待定系数法)思考：方程思考：方程mx2+ny2=1什么时候表示椭圆，什么时候表示椭圆， 什么时候表示双曲线？什么时候表示双曲线？当当mn0，n0且且mn时，表示椭圆时，表示椭圆变题：若是变题：若是mx2-ny2=1呢？呢？当当mn0时，表示双曲线时，表示双曲线当当m0，n0且且m- -n时，表示椭圆时，表示椭圆221(0)mxnymn解法2：设为 双曲线的方程41831mnmn则依题意可得12-1mn解得2212xy所求双曲线的标准方程为一般地，若不知道焦点的位置，为了避开讨论，一般地，若不知道
4、焦点的位置，为了避开讨论，双曲线的方程可设为：双曲线的方程可设为：mx2+ny2=1(mn0，n0且且mn) 例例2 2、若方程、若方程 表示焦点在表示焦点在y轴的双曲线轴的双曲线, , 求求m的取值范围的取值范围. .22112xymm变题变题1 1：若该方程表示双曲线，求：若该方程表示双曲线，求m的取值范围。的取值范围。 m1m2变题变题2：若该方程表示的是椭圆，求：若该方程表示的是椭圆，求m的取值范围。的取值范围。1 03201221 2mmmmmm 且22221(0,0?)?xyabab 类类比比椭椭圆圆的的几几何何性性质质的的研研究究 你你认认为为应应该该研研究究双双曲曲线线的的哪哪
5、些些几几何何性性质质 如如何何研研究究这这考考些些性性质质思思xa x a 1范围范围,R,3.27().xaxay 类类比比研研究究椭椭圆圆范范围围的的方方法法 观观察察双双曲曲线线 我我们们发发现现双双曲曲线线上上点点的的横横坐坐标标的的范范围围是是纵纵坐坐标标的的围围是是图图或或范范下面利用双曲线的方程求出它的范围下面利用双曲线的方程求出它的范围222211,xyab 由由 方方 程程 可可 得得2222,( , )1,R,R,R.x yxyxa yaxaxa y 于于是是 双双曲曲线线上上点点的的坐坐标标都都适适合合不不等等式式即即所所以以或或.xaxa 这这说说明明双双曲曲线线位位于
6、于直直线线及及其其左左侧侧和和直直线线及及其其右右侧侧的的区区域域2对称性对称性22222222,1(0,0).+=1(0)xyabxxyabyaabb 类类比比研研究究椭椭圆圆对对称称性性的的方方法法容容易易得得到到 双双曲曲线线关关于于 轴轴、 轴轴和和原原点点都都是是对对称称的的这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做曲线的对称中心双曲线的对称中心叫做双曲双曲线的中心线的中心图图3.2-83顶点顶点120,(,0),( ,0).,.yxaAaxA ax 类类比比求求椭椭圆圆顶顶点点的的方方法法 在在方方程程中中令令因因
7、此此双双曲曲线线和和轴轴有有两两个个交交点点因因为为 轴轴是是双双曲曲线线的的对对称称轴轴所所以以双双曲曲线线和和它它的的对对称称轴轴有有两两个个交交点点双双曲曲线线它它们们叫叫做做的的顶顶点点得得2120,(0,),(0, )xybyBb Bby 令令得得这这个个方方程程没没有有实实数数解解说说明明双双曲曲线线和和 轴轴没没有有公公共共点点但但我我们们也也把把两两点点画画在在 轴轴上上. .图图3.2-812,2 ,;AAa a线线段段叫叫做做它它的的长长等等于于叫叫做做双双曲曲线线的的实实双双曲曲线线的的实实半半轴轴长长轴轴12,2 ,BBb b线线段段叫叫做做它它的的长长等等于于叫叫做做
8、双双曲曲线线的的双双虚虚曲曲线线的的虚虚轴轴半半轴轴长长. .d4渐近线渐近线22223.210(),9,94321940.3,2?MMMMMdxyxyxyxxydx 利利用用信信息息技技术术画画出出双双曲曲线线和和两两条条直直线线图图的的右右支支上上取取一一点点测测量量点点 的的横横坐坐标标以以及及它它到到直直线线沿沿曲曲线线向向右右上上方方拖拖动动点点观观察察和和 的的大大小小关关系系探探究究在在你你发发现现双双曲曲线线距距离离了了什什么么的的,0.,MddMx可可越越来来越越大大 越越来来越越小小以以发发现现 点点但但是是 始始终终的的横横不不等等于于坐坐标标1212,3,2,(3.2
9、8),0.32A AyxB Bxyxy 实实际际上上 经经过过两两点点作作 轴轴的的平平行行线线经经过过两两点点作作 轴轴的的平平行行线线四四条条直直线线围围成成一一个个矩矩形形图图矩矩形形的的两两条条对对角角线线所所在在直直线线的的方方程程是是d22,194,032,.xyxy 可可以以发发现现 双双曲曲线线的的两两支支向向外外延延伸伸时时 与与两两条条直直线线逐逐渐渐接接近近 但但永永不不相相交交2222,1(0,0,.)0 xyababxyab 的的两两支支向向外外延延伸伸时时与与两两条条直直线线逐逐渐渐接接近近 们们把把这这两两条条直直线线叫叫 双双曲曲线线一一般般的的地地 双双曲曲做
10、做渐渐近近线线线线实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交 222222221(0,0)0,;1(0,0)0,.xyxybabyxababayxyxaabyxababb 结结论论：双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为即即双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为即即222,10,.(,0)k xyykx 方方法法：由由双双曲曲线线方方程程求求渐渐近近线线方方程程 只只需需把把 变变成成 反反过过来来 若若双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为则则双双曲曲线线方方程程可可设设为为22222221(02 .,.,0) ,xyababxyaab
11、xa yayax 那那么么方方程程变变为为此此时时双双曲曲线线的的实实轴轴和和虚虚轴轴的的长长都都等等于于这这时时四四条条直直线线围围成成一一个个正正方方形形 渐渐近近线线方方程程为为他他们们互互相相垂垂直直并并且且平平分分双双曲曲线线的的实实轴轴和和虚虚轴轴所所成成的的角角. .实实轴轴和和虚虚轴轴等等长长的的双双曲曲线线叫叫做做等等在在轴轴双双曲曲线线中中 如如双双曲曲线线果果5离心率离心率,.,ca与与椭椭圆圆类类似似 双双曲曲线线的的焦焦距距与与实实轴轴长长双双曲曲线线比比叫叫做做的的离离心心率率的的0,1.ccaea 因因为为所所以以双双曲曲线线的的离离心心率率双曲线的离心率刻画了双
12、曲线的双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口张口”大小大小思考思考椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？率刻画双曲线的什么几何特征？用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口张口”大小吗？它与用离心率大小吗？它与用离心率刻画刻画“张口张口”大小有什么区别和联系？大小有什么区别和联系？22221,cabbeaaa 双双曲曲线线的的离离心心率率,.byxa 离离心心率率越越大大 渐渐近近线线的的斜斜率率越越大大 双双曲曲线线的的“张张口口”越越大大2.一一个个结结论论：等等轴轴双双曲曲线线
13、的的离离心心率率为为2293,1.1644yx 求求双双曲曲线线的的实实半半轴轴长长和和虚虚半半轴轴长长 焦焦点点坐坐标标离离心心率率渐渐近近线线方方程程例例2222229161441.43yxyx 解解： 把把双双曲曲线线的的方方程程化化为为标标准准方方程程2222,4,3;435,(0, 5),(0,5);abcab 由由此此可可知知 实实半半轴轴长长虚虚半半轴轴长长焦焦点点坐坐标标是是54=,.43ceyxa 离离心心率率渐渐近近线线方方程程为为例例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图虚轴旋转所成的曲面（图3.2-
14、10（1）它的最小半）它的最小半径为径为12m，上口半径为，上口半径为13m，下口半径为，下口半径为25 m，高为，高为55 m试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到（精确到1m),3.2 10(2),.,13 2,5 2.OxyAAxCC BBxCCBB 解解： 根根据据双双曲曲线线的的对对称称性性 在在冷冷却却塔塔的的轴轴截截面面所所在在平平面面建建立立如如图图所所示示的的直直角角坐坐标标系系使使小小圆圆的的直直径径在在 轴轴上上圆圆心心与与原原点点重重合合这这时时 上上、下下口口的的直直径径都都平平行行于于 轴轴 且且222222222222
15、1(0,0),(13, ),(25,55),12,25(55)112,13112xyababCyByAAaB Cybyb 设设双双曲曲线线的的方方程程为为点点 的的坐坐标标为为则则点点 的的坐坐标标为为因因为为直直径径是是实实轴轴 所所以以又又两两点点都都在在双双曲曲线线上上 所所以以222255552512(),1,1212bbyb 由由方方程程得得负负值值舍舍去去 代代入入方方程程得得219275181500bb 化化简简得得25(),b 解解方方程程得得负负值值舍舍去去221.144625xy 因因此此所所求求双双曲曲线线得得方方程程为为d9( , )(4,0):44,.35M x yF
16、l xM 动动点点的的距距离离和和它它到到定定直直例例与与定定点点求求动动线线的的距距离离的的比比是是点点常常的的轨轨迹迹数数,43dMlMMFPMd 解解： 设设 是是点点到到直直线线 的的距距离离 根根据据题题意意动动点点的的轨轨迹迹就就是是点点的的集集合合2244934xyx （）由由此此得得2222,7963,1.97xyxy 将将上上式式两两边边平平方方 并并化化简简得得即即d,6,2 7(3.211)Mx 所所以以 点点的的轨轨迹迹是是焦焦点点在在 轴轴上上实实轴轴长长为为虚虚轴轴长长为为的的双双曲曲线线图图图图3.2-11思考思考将例将例5与椭圆一节中得例与椭圆一节中得例6比较，
17、你有什么发现？比较，你有什么发现？2( ,0),acMF cxeca 若若动动点点 到到定定点点的的距距离离和和它它到到定定直直线线的的距距离离的的比比是是01 ,eM 则则当当时时 动动点点 的的轨轨迹迹是是椭椭圆圆1 ,eM 当当时时动动点点 的的轨轨迹迹是是双双曲曲线线. .这就是椭圆和双曲线的第二定义这就是椭圆和双曲线的第二定义 2().axc 其其中中直直线线叫叫做做椭椭圆圆或或双双曲曲线线的的准准线线图图3.2-122223.2 12,.130636FAyBxAB 如如图图过过双双曲曲线线的的右右焦焦点点倾倾斜斜角角为为的的直直线线交交双双曲曲线线于于两两点点求求例例12,( 3,
18、0),(3,0),3(3),3FFAByx 解解：由由双双曲曲线线的的标标准准方方程程可可知知 双双曲曲线线的的焦焦点点分分别别为为所所以以直直线线的的方方程程为为2223(3)3,1365627 0,yxyxyxx 由由消消去去得得12,93,.5xx 解解方方程程 得得图图3.2-1212122 3,2 3,5x xyy 将将的的 值值 分分 别别 代代 入入 得得92 3, ,( 3, 2 3),.55AB 于于 是是两两 点点 的的 坐坐 标标 分分 别别 为为22121222()()92 316 33+ 2 3+555ABxxyy 所所 以以21212 3916 33355ABkxx 或或 者者222221(0,0)( ,.)70 xyabF cbab 求求证证： 双双到到渐渐近近线线的的距距曲曲线线焦焦点点离离为为的的例例22221(0,0)0,xyabbx ayab 证证明明：双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程为为222( ,0).bcbcF cdbcab 则则点点到到渐渐近近线线的的距距离离cbaabc记住这两个三角形记住这两个三角形作业1 P127第4题作业2 P128 第13题
