1、3.3.2高二数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程学习目标1.掌握抛物线的的简单几何性质;2.能用抛物线的的简单几何性质解决一些简单的问题；3.理解数形结合的思想.4.核心素养：数学运算、数学建模. 平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 其中 定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线lHFM一回顾旧知1.抛物线的定义2.抛物线的图象与标准方程图 象方 程焦 点 准 线 220ypxp 220ypxp 220 xpyp 220 xpyp )0 ,2(pF)2 , 0(pF) 0 ,2(pF )2 , 0 (pF2px2px 2py2
2、py xOyFxyOFxylOFxFylO由抛物线y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以抛物线的范围为0,xyR如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?二、探究新知1.范围xOy)0,2(pF( , )x y关于x轴对称( ,)xy即点(x,-y) 也在抛物线上,故抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.则 (-y)2 = 2px若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，2.对称性xOy)0,2(pF 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.y2 = 2px (p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.3.
3、顶点xOy)0,2(pF)0 ,2(p 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率. 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p0)的 离心率为e=1.4.离心率xOyPFxyOFABy2=2px2p 过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通 pp,2 pp,2|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大 45.通径径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. 连接抛物线任意一点与焦点的线段 叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP6.焦半径0 x2PPF 方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦半焦半径径通径通径 y2 = 2pxy2
4、= -2px x2 = 2pyx2 = -2pylFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO02px02px02py02py关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称（0,0）p2 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以 无限延伸，但没有渐近线； (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)抛物线的离心率e是确定的为, 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.归纳:解: 设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx2
5、 2三、巩固新知1.例3.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 原点,并且经过点M(, )求它的标准方程.由题意2.变式求适合下列条件的抛物线的标准方程2165yx220 xy216yx 232xy 1).关于x轴对称，并且经过点M(5,-4);2).关于y轴对称，准线经过点E(5,-5);3).准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4;4).焦点在y轴的负半轴上，经过横坐标为16的点P, 且FP平行于准线.NoImageF(1,0), 直线l:y解:=x-1214yxyx由261 0yxx 消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设1232 232 2xx解得：，1222 222
6、 2y ，y221212()()8ABxxyy1法 ：3.例4.斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点, 且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.l24yxxyoFABNoImageF(1,0), 直线l:y解:=x-1214yxyx由261 0yxx 消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设法2：126xx121xx2212121()4ABkxxxx2 3648xyoFAB3.例4.斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点, 且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.l24yxNoImageF(1,0), 直线l:y解:=x-1214yxyx由261 0yxx 消 得：1122(
7、,), (,)A x yB xy设ABl法3：126xxABAFBF1211xx 8xyoFAB3.例4.斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点, 且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.l24yxAABB 22(24)0 xbxby消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设1242xxb212xxb2212121()4ABkxxxx222 (42 )44bb12b 已知抛物线 截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.4.变式xy42解:xybxy42由5.例5.BAF,的直线交抛物线于过抛物线焦点抛物线和抛物线顶点的直线交通过点两点A,平行于抛物线的直线求证的准线于点DBD:,.
8、对称轴yOABDFx证明:建立如图所示的坐标系设抛物线的22,ypx方程为),2(020ypyA的坐标为点的方程为则直线OA),0(200yxypy022pyxypx 由解得,02ypyD的纵坐标为点的方程为直线AF),2(22200pxpypyy解得由pxypxpypyy2)2(222200）220(py ,02ypyB的纵坐标为点./ 轴xDB.,220结论也成立时当py 平行于抛物线直线DB.的对称轴6.例6.MCxBChaB,),(,轴于点已知定点如图,OBMDxD MEBC是线段上任意一点轴于点.,的轨迹方程求点相交于点与于点PPMDOEEOCDBEMPxy( , ),( ,),0:
9、,( ,).P x y M x mxaEa m设点其中则点 的坐标为解.(1)hOByxa 由题意得，直线的方程为(1).(2)hMOBMmxa 因为点在上，将点的坐标代入得(2).Px所以点 的坐标 满足,(3)mOEyxa直线的方程为( ,)(3).PO EPx y因 为 点在上 ， 所 以 点的 坐 标满 足22(2)(3)(0,axyxahm 将代入，消去得P即 点的 轨 迹 方 程 .22().axyaxayhBA 例6中，设点 关于 轴的对称点为 ，则方程AOB抛物拱对应的轨迹是常见的如下图.ABO桥拱图 形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1四、课堂小结作业: 课本P138 习题3.3 10、11题
