1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(第一课时)复习 1、用向量表示空间中直线、平面平行线线平行：21ll 2121,uuRuu使线面平行：/l. 0nunu面面平行：2121,nnRnn使l1l2u1 u2n lu n1 n22、用向量表示空间中直线、平面垂直线线垂直：线面垂直：面面垂直：l2u1u2l10212121uuuulllunnuRnul使得,/ n1 n202121nnnn一、用向量研究距离问题 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面，两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等。那么如何用空间向量解决这些问题呢？探究：的如图，已知直线 l单位方向向量上的定点，是直线
2、 lAu ,的距离？到条件求外一点，如何利用这些是直线lPlPluAP,AQlAP的投影向量为在如图，Q.是直角三角形则APQ都是定点、PA都是确定的、 PAQAP| AQ可以求出22|AQAPPQ由勾股定理可得：1、用向量求点到直线的距离luAP，设aAP QuuaAQ)(则22|AQAPPQ由勾股定理可得：22)(uaa 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离lnAP外的一点，是内的定点，是的法向量为如图，PAn ,Q2、用向量求点到平面的距离，于，交的垂线作过QlP的方向向量，是则ln的
3、长度上的投影向量在距离就是QPlAP到且 P|nnAPPQ|nnAP|nnAP的距离到平面求直线的距离到直线求点的中点为线段的中点，段为线中，的正方体如图，在棱长为例11111111)2() 1 (1. 6AECFCACBABFBAEDCBAABCDA1BCDAB1C1D1FE的距离到直线求点1) 1 (ACBzyxO坐标系，则解：建立如图空间直角) 1 ,21, 1 (,)0 ,21, 1 ()0 , 1 , 0(,) 1 , 1 , 0(,) 1 , 1 , 1 (,) 1 , 0 , 1 (1FECCBA)0 , 10( ，ABA1BCDAB1C1D1FE) 1, 11(1，AC) 1,
4、210(，AE)0 ,211(1，EC)0 ,211(，FC)0 ,210( ，AF的距离到直线求点1) 1 (ACBzyxO)0 , 10() 1 (，取 ABaA1BCDAB1C1D1FE) 1, 11(33|11，ACACu22)(uaa12 a33ua的距离为：到直线点1ACB36311)33(12zyxO)0 ,211()2(1， ECFCA1BCDAB1C1D1FE的距离到平面的距离就是直线到平面点11AECFCAECF的距离到平面求直线1)2(AECFC1/ ECFC1/AECFC平面),(1zyxnAEC的法向量为设平面1,ECnAEn则0210211yxECnzyAEnzyzx2zyxO2, 1, 1yxz则取A1BCDAB1C1D1FE的距离为：到平面点1AECF的一个法向量是平面1) 1 , 2 , 1 (AECn )0 ,210( ，又AF|nnAF 6|(1,2,1),0)21(0,|66661的距离为到平面直线AECFC用空间向量解决立体几何问题的“三部曲” (1) 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、平面，把立体几何问题转化为向量问题 (2) 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题 (3) 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
