1、2.4.1圆 的 标 准 方 程高二数学选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程学习目标1.掌握确定圆的几何要素；2.在直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程；3.能够应用圆的方程解决简单与圆有关的轨迹问题、最值的几何问题.4.核心素养：数学运算、直观想象. 生活中的圆生活中的圆一、引入新课 问题1):什么是圆？初中时我们是怎样给圆下 定义的？ 平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.问题2):平面直角坐标系中，如何确定一个圆？圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小1.已知圆心是 C(a,b),半径是 r 的圆的方程是什么？xyOCM( (x, ,y) )2).设M(x,y),则以上条件如
2、何表示？rbyax22)()(x-a)2+(y-b)2=r21).设点M (x,y)为圆C上任一点，则M满足条件？ |MC|= r二、探究新知222)()(rbyax2.是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？ 点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是r ， 即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上xyOCM( (x, ,y) )圆心C(a,b),半径r特别地,若圆心为O（0,0）,则圆的方程为：222)()(rbyax222ryx3.圆的标准方程 1.例1写出圆心为 ,半径
3、长等于5的圆的方程，并 判断点 ， 是否在这个圆上。)3, 2(A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解:圆心是 ,半径长等于5的圆的标准方程是：)3, 2(A 把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；)7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M) 1, 5(2M2M2M 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上25)3()2(22yx三、巩固新知1).说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为3. (2) 圆心在点C(3
4、, -4), 半径为7. (3)经过点P(5,1),圆心是点C(8,-3).2).说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0 (3) (x a)2 + y 2 = m2 922 yx49) 4() 3(22yx25) 3() 8(22yx6),4 , 7(r1),5, 2(rmra),0 ,(2.变式训练 在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系?M MO O|OM|OM|r r点在圆内点在圆上点在圆外3.点与圆的位置关系(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外.(x0-a)
5、2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C内;确定点与圆的位置关系方法:3.点与圆的位置关系解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为：4.例2 ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,-3), C(2,-8),求它的外接圆的方程.222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba,. 53, 2rba25)3()2(22yx222)()(rbyax解1.5.例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)B(2,-2)两点,且 圆心C在直线l:x-y+1=0上,求此圆的
6、标准方程.yxABCDOll( , ),:10,(1)10aabCbCl xy 设圆心 的坐标为因为圆心 在直线上，所以,A BCACB因为是圆上两点，所以2222(1)(1)(2)(2)abab根据两点间的距离公式，有 330,(2)ab即(1),(2)3,2,abC由得则圆心 的坐标是(-3,-2),22(1 3)(12)5,r圆的半径22(3)(2)25,xy圆的标准方程是圆经过A(1,1),B(2,-2)解3:设圆C的方程为222()(),xaybr圆心在直线l:x-y+1=0上22222210(1)(1)(2)( 2)ababrabr 325abr 5.例3.己知圆心为C的圆经过点A
7、(1,1)B(2,-2)两点,且 圆心C在直线l:x-y+1=0上,求此圆的标准方程.22(3)(2)25,xy圆的标准方程是解2: A(1,1),B(2,-2)312 1( ,),3.222 1ABABDk 线段的中点113().232ABx线段的垂直平分线CD的方程为：y+即：x-3y-3=0103,3302xyxlxyy 联立直线 CD的方程：解得：圆心C(-3,-2)22(1 3)(12)5.rAC 5.例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)B(2,-2)两点,且 圆心C在直线l:x-y+1=0上,求此圆的标准方程.22(3)(2)25,xy圆的标准方程是 2).根据下列条件，求圆的
8、方程： (1)求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线 x-y+1=0上的圆的标准方程。 (2)圆心在直线5x-3y=8上,又与两坐标轴相切， 求圆的方程。 1).点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部, 求实数 a 的取值范围.135a965)311()38(22yx14) 4-() 4(1) 1() 1(2222yxyx或6.变式训练7.例4 .已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上 一点 的切线的方程。),(00yxMXY0),(00yxM解:)(,00 xxkyy设切线方程为如图,00 xykOMOM的斜率为半径00,yxkOM所以垂直于圆的切线因)(0000 xxyxyy切线方程为202000,yxyyxx整理得,22020ryx200 x xy yr所求圆的切线方程为：1.圆的标准方程：222()()x ay br（圆心C(a,b),半径r）2.点与圆的位置关系：3.求圆的标准方程的方法： 待定系数法 几何性质法四、课堂小结作业: 课本P88 习题2.4 2、4 题
