1、2.5.1 2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数 个 个 个判定方法几何法：圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d rd rd r代数法：由消元得到一元二次方程，计算判别式 0 0 0Ax By Cx ay br2220()() A aB bCdAB22| 判定直线与圆的位置关系的方法：210=做判断求交点AD222-ABrdxyOABdr(3)代数法代数法：设而不求，利用韦达定理：设而不求，利用韦达定理22121214 ABkxxx x(1)几何法几何法：利用垂径定理以及勾股定理利用垂径定理以及勾股定理(2)代数法代数法：利用两点间的距离公式
2、：利用两点间的距离公式221212 ABxxyy直线与圆相交时弦长的求法：2.已知直线 被圆 截得的弦长为 ，点(m,n) 是直线l上的任意一点，则m2+n2的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4:30l kx yk 224xy2 3A210mxym 3.若直线 被圆 所截弦长最短，则m=( )A.4 B.2 C. D.-2226210 xyxy 12C1. 直线2x-y+2=0 和圆(x-1)2+ (y-2)2 =4相交，直线被圆截得的弦长为 8 554.已知圆C: x2+y2- 2x-4y-20=0. 过点P(4,-4)的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程. 设点C到直线
3、l 距离为d，则 由圆的弦长公式，得 ，解得d=32228rd此时直线的方程为3x+4y+4=0综上，直线方程为x=4或3x+4y+4=0.34k 解得当直线l斜率不存在时，直线方程为x=4，满足题意当直线l斜率存在时，设直线方程为y+4=k(x-4)，即kx-y-4k-4=0解: 圆C: x2+y2- 2x-4y-20=0可化为(x-1)2+ (y-2)2 =25，则 圆心坐标为C(1,2) ，半径为r=5 做这种题要分类讨论：做这种题要分类讨论：(答题模板答题模板)当直线斜率不存在时当直线斜率不存在时,直线方程为直线方程为x=x0当直线斜率存在时，设直线方程为当直线斜率存在时，设直线方程为
4、y- -y0=k(x-x0).2| 36|31kdk由5.已知圆C: x2+y2- 2x-4y-20=0. 当k取何值时，直线kx-y+3k +1=0与圆C相交的弦长最短，并求出最短弦长.由直线kx-y+3k +1=0可化为y-1=k(x+3)，可得直线l过定点M(-3,1),当CMl 时，弦长最短，222|2 25 174 2rCM此时最短弦长为2 111 ( 3)4CMk 又由 , 可得k=-4解: 圆C: x2+y2- 2x-4y-20=0可化为(x-1)2+ (y-2)2 =25，则 圆心坐标为C(1,2) ，半径为r=5 1.点点P在圆上时在圆上时: 求过圆上一点求过圆上一点(x0,
5、 y0)的切线方程：的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为再由垂直关系得切线的斜率为 ，由由点斜式点斜式可得切线方程可得切线方程如果如果斜率为零或不存在斜率为零或不存在，则由图形可，则由图形可直接直接得得切线方程切线方程 y=y0或或 x=x0.1k 求过一点P的圆的切线方程的方法：001()yyxxk 1.设点M(x0,y0)为圆 x2y2=r2上一点，则过M 点可以作几条圆的切线？如何求过点M 的圆的切线方程？xOy过圆上一点的切线方程为过圆上一点的切线方程为x0 x+y0y=r2M(x0,y0)00000,0,OMyxykx则解设：00
6、00()xyyxxy 切线方程为2220000 xxyyxyr即0000 易验证或时方程也成立xy2.点点P在圆外时在圆外时:求过圆外一点求过圆外一点(x0, y0)的切线方程：的切线方程：(1)几何法几何法: 设切线方程为设切线方程为y- -y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径由圆心到直线的距离等于半径，即即d=r，可求得，可求得k，也就是切线方程，也就是切线方程.(2)代数法代数法: 设切线方程为设切线方程为y- -y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，与圆的方程联立，消去消去y后得到后得到关于关于x的一元二次方程的一元二次方程，由，由=0求出求出k，可得切线方程，可得切线方程
7、.做这种题要分类讨论：做这种题要分类讨论：(答题模板答题模板)当切线斜率不存在时，切线方程为当切线斜率不存在时，切线方程为x=x0;当切线斜率存在时，设切线方程为当切线斜率存在时，设切线方程为y- -y0=k(x-x0).求过一点P的圆的切线方程的方法： 若通过上述方法若通过上述方法只求出一个斜率只求出一个斜率k, 则说明则说明另一条切线的斜率另一条切线的斜率不存在不存在, 此时此时另一条切线方程为另一条切线方程为x=x0. 2.过点过点P(1,2)作圆作圆O: x2+y2=1的切线的切线l, 求此切线求此切线l的方程的方程.OPyx解：解：即即kx-y+2-k=0由圆心由圆心(0,0)到切线到切线l的距离等于圆的半径的距离等于圆的半径1,得得设切线设切线l的方程为的方程为y-2=k(x-1),当切线当切线l的斜率存在时的斜率存在时, ,此时切线此时切线l的方程为的方程为3x-4y+5=0.当切线当切线l的斜率不存在时的斜率不存在时, ,2|2|11-kk 解解得得34k 此时此时切线l的方程为x=1综上所述，切线综上所述，切线l的方程为的方程为x=1或或3x-4y+5=0.
