1、2.5.1 2.5.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系一个关于台风的实际问题一个关于台风的实际问题 一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为多长？创设情境创设情境坐标系的选择坐标系的选择典例分析典例分析2220m,4m,.3,.(0.m041m)ABOPA P右右图图是是某某圆圆拱拱形形桥桥一一孔孔圆圆拱拱的的示示意意图图 圆圆拱拱跨跨度度建建造造时时每每间间隔隔需需要要一一根根支支柱柱支支撑撑 求求支支柱柱的的高高度度 精精确确到到例例拱拱高高AOB2A2P1A3A4APyxx2+(
2、y-b)2=r2建立适当的直角坐标系，可以简化运算过程.若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴对称轴为坐标轴坐标轴.常选特殊点特殊点作为直角坐标系的原点原点.尽量使已知点位于坐标轴上已知点位于坐标轴上.建立平面直角坐标系应遵循的原则建立平面直角坐标系应遵循的原则222,A PP分分析析： 建建立立如如图图所所示示的的直直角角坐坐标标系系 要要得得到到支支柱柱的的高高度度只只需需求求出出点点 的的纵纵坐坐标标. .,.ABxOy解解：建建立立如如图图所所示示的的直直角角坐坐标标系系 使使线线段段所所在在直直线线为为 轴轴为为坐坐标标原原点点 圆圆心心在在 轴轴上上AOB2A2P1A3A4APyx2
3、220m,4m,.3,.(0.m041m)ABOPA P右右图图是是某某圆圆拱拱形形桥桥一一孔孔圆圆拱拱的的示示意意图图 圆圆拱拱跨跨度度建建造造时时每每间间隔隔需需要要一一根根支支柱柱支支撑撑 求求支支柱柱的的高高度度 精精确确到到例例拱拱高高典例分析典例分析,(0,4),(10,0).P B由由题题意意 点点的的坐坐标标分分别别为为222(0, ),().brxybr设设圆圆心心坐坐标标是是圆圆的的半半径径是是那那么么圆圆的的方方程程是是 .br下下面面确确定定 和和 的的值值2210.514.5br 解解得得222,(10.5)14.5 .xy所所以以 圆圆的的方方程程是是2222222
4、2,( 2)(10.5)14.5 ,10.514.5( 2) ,(0,)PxyyPy 把把点点 的的横横坐坐标标代代入入圆圆的的方方程程 得得即即的的纵纵坐坐标标平平方方根根取取正正值值2214.5( 2)10.514.3610.53.86y 所所以以223.86 mA P答答： 支支柱柱的的高高度度约约为为222,(0, 4),(10, 0)().P Bxybr因因为为两两点点都都在在圆圆上上 所所以以它它们们的的坐坐标标都都满满足足方方程程222222,0(4) 10(0)brbr 于于是是 得得到到方方程程组组例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的
5、圆形区域内已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离如图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直判断直线与圆的位置关系线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险典例分析典例分析Oyx港口轮船22,4.xy这这样样 受受暗暗礁礁影影响响的的圆圆形形区区域域的的边边缘缘所所对对应应的的圆圆的的方方程程为为1,34120.43xylxy轮轮船船航航线线所所在在直直线线 的的方方程程为为即即2234120
6、,4xylOxy 联联立立直直线线 与与圆圆 的的方方程程 得得2,2572800yxx消消去去得得2( 72)4 25 800,. 由由可可知知方方程程组组无无解解所以直所以直线线l与圆与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险,Ox解解： 以以小小岛岛的的中中心心为为原原点点东东西西方方向向为为 轴轴 建建立立如如图图所所示示的的直直角角坐坐标标系系. .,10 km,(0,3),(4,0).为为了了运运算算的的简简便便 我我们们取取为为单单位位长长度度 则则港港口口所所在在位位置置的的坐坐标标为为轮轮船船所所在在位位置置的的坐坐标标为为Oyx港口轮船坐标法
7、解决坐标法解决有关直线与圆的位置关系有关直线与圆的位置关系的实际问题的实际问题的步骤的步骤第第1步：建立适当的平面直角坐标系，步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中几何要素，用坐标和方程表示问题中几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题化为代数问题第第2步：通过代数计算，解决代数问题步：通过代数计算，解决代数问题第第3步：把代数运算的结果步：把代数运算的结果“翻译翻译”成成几何结论几何结论第第0步：审题，从题目中抽象出几何模步：审题，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知型，明确已知和未知.第第1 1步：几何步：几何代数代数实际问题实
8、际问题数学问题数学问题第第2 2步：解决代数问题步：解决代数问题第第3 3步步: : 还原为实际结论还原为实际结论台风实例台风实例建系代数计算还原为实际问题因此城市B处于危险区的时间为1小时.22222,:(40)30400 20 222 30(20 2)202020=1 ( )lyxBxyBldMNh直线：圆圆心 到直线 的距离为由弦长公式可得：所以所需时间为： 一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为多长？解：以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系1. 某圆拱桥的水面跨度20m, 拱高4
9、m. 现有一船, 宽10m, 水面以上高3m,这条船能否从桥下通过？课堂练习课堂练习AOBPyxGFDE222222222( 10)(0)(10)(0)(0)(4)abrabrabr 于是有所求圆的方程为222(10.5)14.5 (04)xyy设所求圆的方程为222)()(rbyax010.514.5abr 解得解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-10,0), B(10,0),P(0,4), D(-5,0), E(5,0),把点E的横坐标 x=5 代入圆的方程，得 y=3.1由于船在水面以上的高为3m，而33.1，所以这条船可以从桥下通过.2.在一个平面上，机器人从与点C(5,-3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点A(-10,0)与B(0,12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少？课堂练习课堂练习CBFAOyxEH解：如图，过点C作直线AB的垂线CH, 垂足为H.直线CH与以C为圆心, 9为半径的圆的交点E, F分别是机器人到直线AB的最近距离点与最远距离点.直线AB的方程为 ，即6x-5y+60=0.+=11012xy点C(5,-3)到直线AB的距离为22|6 55 ( 3)60|105 616165d 故机器人到直线AB的最近距离是 , 最远距离是105 61961105 61961
