1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7.2 一元二次不等式及其解法 最新考纲 考情考向分析 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 . 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高 . 1 “ 三个二次 ” 的关系 判别式 b2 4ac 0 0 0)的图
2、象 一元二次方程 ax2 bx c 0 (a0)的根 有两相异实根 x1， x2 (x10 (a0)的解集 x|xx2 ?x? x b2a x|x R 一元二次不等式 ax2 bx c0)的解集 x|x10 或 (x a)(x b)b =【 ;精品教育资源文库 】 = (x a)( x b)0 x|xb x|x a x|xa (x a)( x b)0(0(0.( ) (2)若不等式 ax2 bx c0 的解集是 ( ， x1)( x2， ) ，则方程 ax2 bx c 0 的两个根是 x1和 x2.( ) (3)若方 程 ax2 bx c 0(a0) 没有实数根，则不等式 ax2 bx c0
3、的解集为 R.( ) (4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 a0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 3x2 2x 2 0，得 x1 1 73 ， x2 1 73 ， 3 x2 2x 20 的解集为 ? ， 1 73 ?1 73 ， . 题组三 易错自纠 4不等式 x2 3x 40 的解集为 _ (用区间表示 ) 答案 ( 4,1) 解析 由 x2 3x 40 可知， (x 4)(x 1)0 的解集是 ? ? 12， 13 ，则 a b _. 答案 14 解析 x1 12， x2 13是方程 ax2 bx 2 0 的两个根， ? a4 b2 2 0，a9b3 2 0，
4、解得? a 12，b 2， a b 14. 6已知关于 x 的不等式 (a2 4)x2 (a 2)x 10 的解集为空集，则实数 a 的取值范围为_ 答案 ? ? 2， 65 解析 当 a2 4 0 时， a 2. 若 a 2，不等式可化为 10 ，显然无解，满足题意；若a 2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当 a2 时，要使不等式的解集为空集，则? a2 40， 解方程 2x2 x 3 0，得 x1 1， x2 32， 不等式 2x2 x 30 的解集为 ( ， 1) ? ?32， ， 即原不等式的解集为 ( ， 1) ? ?32， . 命题点 2 含参不等式 典例 解关于 x 的不
5、等式 ax2 22 x ax(a R) 解 原不等式可化为 ax2 (a 2)x 20. 当 a 0 时，原不等式化为 x 10 ，解得 x 1. 当 a0 时，原不等式化为 ? ?x 2a (x 1)0 ， 解得 x 2a或 x 1. 当 a 1，即 a0 时，不等式的解集为?x? x 2a或 x 1 ； 当 20，x2 x 24 ， 则 ? ?x 2?x 1?0，?x 3?x 2?0 ， 可得? x2或 x0，则 a 的取值范围是 ( ) A (0,4) B 0,4) C (0， ) D ( ， 4) 答案 B 解析 对于 ? x R， ax2 ax 10， 则必有? a0， a2 4a0
6、 时， g(x)在 1,3上是增函数， 所以 g(x)max g(3)，即 7m 60， 又因为 m(x2 x 1) 60，g?1? ?x 2? x2 4x 40. 解得 x3. 故当 x 的取值范围为 ( ， 1)(3 ， ) 时，对任意的 m 1,1，函数 f(x)的值恒大于零 思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元
7、，求谁的范围，谁就是参数 跟踪训练 函数 f(x) x2 ax 3. (1)当 x R 时， f(x) a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 x 2,2时， f(x) a 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)当 a4,6 时， f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围 解 (1) 当 x R 时， x2 ax 3 a0 恒成立， 需 a2 4(3 a)0 ，即 a2 4a 120 ， 实数 a 的取值范围是 6,2 (2)当 x 2,2时，设 g(x) x2 ax 3 a0 ，分如下三种情况讨论 (如图所示 )： =【 ;精品教育资源文库 】 = 如图 ，当 g(x)的图象恒在
8、 x 轴上方且满足条件时，有 a2 4(3 a)0 ，即 6 a2. 如图 ， g(x)的图象与 x 轴有交点， 但当 x 2， ) 时， g(x)0 ， 即? 0 ，x a2 2，g? 2?0 ，即? a2 4?3 a?0 ， a2 2，4 2a 3 a0 ，可得? a2 或 a 6，a4 ，a 73，解得 a ?. 如图 ， g(x)的图象与 x 轴有交点， 但当 x( ， 2时， g(x)0. 即? 0 ，x a22 ，g?2?0 ，即? a2 4?3 a?0 ， a22 ，7 a0 ，可得? a2 或 a 6，a 4，a 7. 7 a 6， 综上，实数 a 的取值范围是 7,2 (3)
9、令 h(a) xa x2 3. 当 a4,6 时， h(a)0 恒成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 只需? h?4?0 ，h?6?0 ， 即 ? x2 4x 30 ，x2 6x 30 ， 解得 x 3 6或 x 3 6. 实数 x 的取值范围是 ( ， 3 6 3 6， ) 题型三 一元二次不等式的应用 典例 甲厂以 x 千克 /小时的速度匀速生产某种产品 (生产条件要求 1 x10) ，每小时可获得的 利润是 100 ? ?5x 1 3x 元 (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围； (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂
10、应该选取何种生产速度？并求最大利润 解 (1)根据题意，得 200? ?5x 1 3x 3 000 ， 整理得 5x 14 3x0 ，即 5x2 14x 30 ， 又 1 x10 ，可解得 3 x10. 即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元， x 的取值范围是 3,10 (2)设利润为 y 元，则 y 900x 100 ? ?5x 1 3x 910 4? ?5 1x 3x2 910 4? ? 3? ?1x 16 2 6112 ， 故当 x 6 时， ymax 457 500 元 即甲厂以 6千克 /小时的生产速度生产 900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457
11、500元 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系 (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义 (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果 跟踪训练 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低 x 成 (1成 10%)，售出商品数量就增加 85x 成要求售价不能低于成本价 (1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该
12、商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)由题意，得 y 100? ?1 x10 100 ? ?1 850x . 因为售价不能低于成本价，所以 100? ?1 x10 800. 所以 y f(x) 40(10 x)(25 4x)，定义域为 x0,2 (2)由题意得 40(10 x)(25 4x)10 260 ， 化简得 8x2 30x 130 ，解得 12 x 134. 所以 x 的取值范围是 ? ?12， 2 . 转化与化归思想在不等式中的应用 典例 (1)已知函数 f(x) x2 ax b(a， b R)的值域为 0， ) ，若关于 x 的不等式 f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为 a， b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题 解析 (1)由题意知 f(x) x2 ax b ? ?x a2 2 b a24. f(x)的值域为 0， ) ， b a24 0，即 ba24. f(x) ? ?x a2 2. 又 f(x)c， ? ?x a2 2c， 即 a2 cx a2 c. ? a2 c m， a2 c m 6.
