1、第8讲解三角形应用举例,1.解三角形的常见类型及解法,在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解，,常见类型及其解法如下表所示：,(续表),2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型,测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航,海问题等.,3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角如图 3-8-1(1).,图 3-8-1,(2)方向角：,相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等.(3)方位角：,指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如
2、点 B 的,方位角为如图 3-8-1(2).,(4)坡角：,坡面与水平面所成的二面角的度数.,1.若点 A 在点 B 的北偏西 30，则点 B 在点 A 的(,),A.北偏西 30C.南偏东 30,B.北偏西 60D.东偏南 30,C,解析：如图 D21，点 B 在点 A 的南偏东 30.图 D21,2.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 30，且两条船与炮台底部连线成 30角，,则两条船相距(,),解析：如图 D22，过炮台顶点 A 作水平面的垂线，垂足为B.设A处测得船C，D的俯角分别为45，30，连接BC，BD.在RtABC中，ACB45，则ABB
3、C30 m.在RtABD,图 D22答案：D,3.如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA,),45，且 AB200 m.则 A，C 两点的距离为(图 3-8-2,A,4.一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速,度是(,)A.5 海里/时,解析：如图D23，依题意有BAC60，BAD75，故CADCDA15，从而CDCA10.在RtABC中，,时).,图 D23,答案：C,考点,测量问题,考向
4、1,测量距离问题,例 1：(2016 年广东广州模拟)如图 3-8-3，某测量人员为了测量长江北岸不能到达的两点 A，B 之间的距离，在长江南岸找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A，B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A，C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点B，C.测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 m.,(1)求CDE 的面积；(2)求 A，B 之间的距离.,图 3-8-3,解：(1)在CDE中，DCE3609015105,因为 cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45,连接 AB，
5、在ABC 中，由余弦定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，,【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在,有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.,(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学,模型的解.,【互动探究】1.(2014年四川)如图384，从气球A上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，,则河流的宽度 BC(,),图 3-8-4,答案：C,2.(2017 年四川成都外国语学校统测)如图3-8-5，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，为了测量 A，B 两点间的距离，选取一条基线 CD，A，B，C，D 在同一平
6、面内.测得 CD200 m，,ADBACB30，CBD60，则 AB(,),D.数据不够，无法计算,图 3-8-5,解析：如题图，ADBACB30，CBD60，ACBD.设 ACBDO，则AODBOC.设 OAx m，,答案：A,考向 2,测量高度问题,例 2：(1)(2015 年湖北)如图 3-8-6，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.图 3-8-6,(2)(2014 年新课标)如图3-8-7，为测量山高 MN，选择点A 和另一
7、座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角为MAN60，点C的仰角为CAB45，以及MAC75；从点 C 测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山,高 MN_m.,图 3-8-7,答案：150,【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的,概念.,(2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个,三角形内运用正弦或余弦定理.,【互动探究】,3.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分,别是 30，60，则塔高为_m.,解析：如图 D24，由已知可得BAC30，CAD30.,图 D24,BCA60，ACD30，ADC120.,在ACD 中，由
8、余弦定理，得AC22CD22CD2cos 1203CD2.,答案：,4003,考向 3,测量角度问题,例 3：如图 3-8-8，在一个坡度一定的山坡 AC 的山顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD.为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得DBC45.根据以上数据计算可得cos _.图 3-8-8,【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行，同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、方位角、坡角等.,【互动探究】,B,4.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40，灯塔
9、 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在,灯塔 B 的(,),A.北偏东 10C.南偏东 10,B.北偏西 10D.南偏西 10,难点突破,三角函数在解三角形中的应用,例题：(2014年新课标)四边形ABCD的内角A与C互补，,AB1，BC3，CDDA2.,(1)求角 C 和 BD；,(2)求四边形 ABCD 的面积.,解：(1)由题设及余弦定理，得,BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C, BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C.,【互动探究】,5.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB2，BC6，,CDDA4，求四边形 ABCD 的面积.,解：如图 D25，连接 BD，则有四边形 ABCD 的面积,图 D25,A120.,2242224cos A2016cos A.在CDB中，BD2CB2CD22CBCDcos C6242264cos C5248cos C.2016cos A5248cos C.,
