1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数,第四章三角函数、解三角形,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；分类：角按旋转方向分为 、 和 .(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S .(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.,知识梳理,一条射线,图形,正角,负角,零角,原点,x轴的非负半轴,|k360，kZ,2.弧度制(1)定义：把长
2、度等于 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad .(3)扇形的弧长公式：l ，扇形的面积公式：S .,半径,正数,负数,0,|r,3.任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sin ，cos ，tan (x0).三个三角函数的性质如下表：,y,x,R,R,4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.,MP,OM,AT,几何画板展
3、示,1.三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则,【知识拓展】,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(3)不相等的角终边一定不相同.()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,7,8,题组二教材改编,解析,2.P10A组T7角225_弧度，这个角在第_象限.3.P15T2设角的终边经
4、过点P(4，3)，那么2cos sin _.,二,答案,4.P10A组T6一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度.,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,答案,题组三易错自纠,5.(2018秦皇岛模拟)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 A.2k45(kZ) B.k360 (kZ)C.k360315(kZ) D.k (kZ),1,2,3,4,5,6,7,8,6.集合 中的角所表示的范围(阴影部分)是,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,解析,7.已知角(0)的终边与单位圆交点的横坐标是 ，则sin _.,答案,1,2,3,4,5,6,7
5、,8,解析,8.(2018济宁模拟)函数y 的定义域为_.,答案,1,2,3,4,5,6,7,解析2cos x10，,由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，,8,几何画板展示,题型分类深度剖析,A.MN B.M?NC.N?M D.MN?,题型一角及其表示,自主演练,答案,解析,因此必有M?N，故选B.,2.若角是第二象限角，则 是A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角,解析,解析是第二象限角，,答案,3.(2018宁夏质检)终边在直线y x上，且在2，2)内的角的集合为_.,解析,答案,(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方
6、法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.,典例 (1)(2017珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是A.2 B.1 C. D.3,解析,题型二弧度制,师生共研,解析设扇形的半径为R，则弧长l42R，扇形面积S lRR(2R)R22R(R1)21，当R1时，S最大，此时l2，扇形圆心角为2弧度.,答案,(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_.,解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，,解析,答案,应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必
7、须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.,跟踪训练(1)(2018湖北七校联考)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为,解析,答案,解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，,作OMAB，垂足为M，,(2)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是_.,S1S2,解析,答案,解析设运动速度为m，运动时间为t，
8、圆O的半径为r，,则 APtm，根据切线的性质知OAAP，,S1S2恒成立.,命题点1三角函数定义的应用典例 (1)(2018山东重点中学模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为,解析,题型三三角函数的概念及应用,多维探究,答案,A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角,答案,解析,解析,命题点2三角函数线的应用,典例 函数ylg(2sin x1) 的定义域为_.,答案,如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，,(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用三角函数线解不
9、等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围.,跟踪训练(1)(2017济南模拟)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限,解析,答案,解析tan 0，cos 0，在第二象限.,(2)(2017石家庄模拟)若 ，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是A.sin tan cos B.cos sin tan C.sin cos tan D.tan sin cos ,答案,解析,解析如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos 0，cos 30，sin 2cos 3tan 40.,8.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是A.1 B.2C.3 D.4,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当cos 1，
