1、第五章数列、推理与证明,第1讲数列的概念与简单表示法,1.数列的定义,按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列可以看作是定义域为N*的非空子集的函数，其图象是一群孤立的点.,2.数列的分类,无限,3.数列的表示法,数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式,如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,5.Sn与an的关系,an1,an1,B,B,1.数列1,2,4,8,16,32，的一个通项公式是( )A.an2n1 B.an2n1C.an2n D.an2n1 2
2、.数列1，3,5，7,9，的一个通项公式为( )A.an2n1B.an(1)n1(2n1)C.an(1)n(2n1)D.an(1)n(2n1),a20( ),A.1,B.1,C.,12,D.2,4.如图 5-1-1，根据下面的图形及相应的点数，写出点数构,成的数列的一个通项公式an_.图 5-1-1,D,5n4,考点 1,由数列的前几项写数列的通项公式,例 1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前 4 项已给出.,(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，；(4)5,4,5,4，.,(3)0.910.1,0.9910.01,0.99910.001，0.999910.0001，又0.
3、1101，0.01102，0.001103，0.0001104，它的一个通项公式为an110n.(4)这个数列前 4 项构成一个摆动数列，奇数项是 5，偶数项是 4.,【规律方法】对于一个公式能否成为一个给出前 n 项的,数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可.,根据数列an的前 n 项求通项公式，我们常常取其形式上较简便的一个即可.另外，求通项公式，一般可通过观察数列中各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加以验证.,已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考,虑：,负号用(1)n与(1)n1或(1)n1来调节；,分数形式的数列，分析分子、分母的特征，且充分借助,分子、
4、分母的关系；相邻项的变化特征；拆项后的特征；,对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数,列(后面专门学习)和其他方法解决；,此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差数列或等比数列)等方法.,【互动探究】,1.写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；,(3)1,7，13,19，；(4)3,33,333,3333，.,考点 2 由数列的前 n 项和求数列的通项公式,例2：已知下面数列an的前n项和Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3n1.解：(1)当n1时，a1S1231.当n2时，an
5、SnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5.a1也适合此等式，因此an4n5.,(2)当n1时，a1S1314.当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.显然，a1不适合此等式.,【规律方法】由Sn求an的步骤：先利用a1S1求出a1.用n1替换Sn中的n得到一个新的关系式，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式.对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，若符合，则可以把数列的通项公式合写；若不符合，则应写成分段函数的形式.,【互动探究】,2n11,3,2.(2016年河北石家庄质检)若数列an的前n项和Snn210n(n1,2,3，)，则此
6、数列的通项公式为an_；数列nan中数值最小的项是第_项.解析：当n1时，a1S19；当n2时，anSnSn12n11，当n1时也符合，则an2n11.nan2n211n,考点 3,由数列的递推关系求数列的通项公式,例3：(1)设数列an中，a12，an1ann1，则通项an_.,(2)在数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为an_.解析：方法一，(累乘法)an13an2，即an113(an1)，,方法二，(迭代法)an13an2，即an113(an1)32(an11)33(an21)3n(a11)23n(n1)，所以an23n11(n2).又a11也满足上式，故数列an的一个通项公式为an23n11.答案：23n11,【规律方法】已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现 anan1m时，构造等差数列；当出现anxan1y时，构造等比数列；当出现an,解.,【互动探究】,答案：D,思想与方法用分类讨论的思想探讨数列的单调性,答案：C,【互动探究】,_.,a8或a9,
