1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (五 ) 函数的单调性与最值 A 基础巩固练 1 (2018 北京东城期中 )已知函数 y 1x 1，那么 ( ) A函数的单调递减区间为 ( ， 1)， (1， ) B函数的单调递减区间为 ( ， 1) (1， ) C函数的单调递增区间为 ( ， 1)， (1， ) D函数的单调递增区间为 ( ， 1) (1， ) 解析 函数 y 1x 1可看作是由 y 1x向右平移 1 个单位长度得到的， y 1x在 ( ，0)和 (0， ) 上单调递减， y 1x 1在 ( ， 1)和 (1， ) 上单调递减， 函数 y 1x 1的单调递减区间为 ( ， 1)
2、和 (1， ) ，故选 A. 答案 A 2 (2018 牡丹江月考 )设函数 f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线 x 1 对称，且当 x1 时， f(x) 3x 1，则 ( ) A f? ?13 f? ?32 f? ?23 B f? ?23 f? ?32 f? ?13 C f? ?23 f? ?13 f? ?32 D f? ?32 f? ?23 f? ?13 解析 由题设知，当 x 1 时， f(x)单调递减，当 x1 时， f(x)单调递增，而 x1 为对称轴， f? ?32 f? ?1 12 f? ?1 12 f? ?12 ，又 13 12 23 1， f? ?13 f? ?12 f
3、? ?23 ， 即 f? ?13 f? ?32 f? ?23 . 答案 B 3已知函数 y log2(ax 1)在 (1,2)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ( ) A (0,1 B 1,2 C 1， ) D 2， ) 解析 要使 y log2(ax 1)在 (1,2)上单调递增，则 a 0 且 a 10 ，即 a1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 4已知 f(x)? ax， x 1，?4 a2 x 2， x1是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A (1， ) B 4,8) C (4,8) D (1,8) 解析 由已知可得? a 1，4 a2 0，a
4、 ? ?4 a2 2，解得 4 a 8. 答案 B 5 (2018 安徽省合肥八中第一次段考 )已知函数 f(x)? ex， x0x m， x0 ，以下说法正确的是 ( ) A ? m R，函数 f(x)在定义域上单调递增 B ? m R，函数 f(x)存在零点 C ? m R，函数 f(x)有最大值 D ? m R，函数 f(x)没有最小值 解析 函数 f(x)? ex， x0x m， x0 ， 当 x 0 时，函数 y ex递增，当 x0 时， y x m 递增， 但当 e0 m，即 m 1，函数 f(x)在 R 上不单调，故 A 错； 当 m 1 时， f(x) 0 无解，故 B 错；
5、当 x 0 时，函数 f(x) (0,1)，当 x0 时， f(x) m，则 f(x)取不到最大值，故 C 错； 当 m 1 时，当 x 0 时，函数 f(x) (0,1)，当 x0 时， f(x)1 ， f(x)的值域为 (0， ) ，取不到最小值，故 D 对 答案 D 6 (2018 河南洛阳二模 )设函数 f(x) x|x a|，若 ? x1， x2 3， ) ， x1 x2，不等式 f x1 f x2x1 x2 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 3 B 3,0) C ( ， 3 D (0,3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意分析可知条件等价于 f(
6、x)在 3， ) 上单调递增，又 f(x) x|x a|， 当 a0 时，结论显然成立，当 a 0 时， f(x)? x2 ax， x a， x2 ax， x a， f(x)在 ? ? ， a2 上单调递增，在 ? ?a2， a 上单调递减，在 (a， ) 上单调递增， 0 a3. 综上，实数 a 的取值范围是 ( ， 3 答案 C 7设函数 f(x)? 1， x 0，0， x 0， 1， x 0，g(x) x2f(x 1)，则函数 g(x)的递减区间是 _ . 解析 由题意知 g(x)? x2， x 1，0， x 1， x2， x 1，函数的图象如图所示，其递减区间为 0,1) 答案 0,1
7、) 8设函数 f(x) ax 1x 2a在区间 ( 2， ) 上是增函数，那么 a 的取值范围是 _ . 解析 f(x) ax 2a2 2a2 1x 2a a2a2 1x 2a， 其对称中心为 ( 2a， a) ? 2a2 1 0， 2a 2， ? 2a2 1 0，a1 ， ?a1. 答案 1， ) 9 (2018 荆州质检 )函数 f(x) |x3 3x2 t|， x 0,4的最大值记为 g(t)，当 t 在实数范围内变化时， g(t)的最小值为 _ . 解析 令 g(x) x3 3x2 t， 则 g( x) 3x2 6x，令 g( x)0 ，则 x0 或 x2 ，在 0,2上 g(x)为减
8、函数，在 2,4上 g(x)为增函数，故 f(x)的最大值 g(t) max|g(0)|，|g(2)|， |g(4)|，又 |g(0)| |t|， |g(2)| |4 t|， |g(4)| |16 t|，在同一坐标系中=【 ;精品教育资源文库 】 = 分别作出它们的图象，由图象可知，当 y 16 t(t16) 与 y 4 t(t 4)的交点处， g(t)取得最小值，由 16 t 4 t，得 2t 12， t 16， g(t)min 10. 答案 10 10已知 定义在区间 (0， ) 上的函数 f(x)满足 f? ?x1x2 f(x1) f(x2)，且当 x 1 时，f(x) 0. (1)求
9、f(1)的值； (2)证明： f(x)为单调递减函数； (3)若 f(3) 1，求 f(x)在 2,9上的最小值 解 (1)令 x1 x2 0，代入得 f(1) f(x1) f(x1) 0，故 f(1) 0. (2)证明：任取 x1， x2 (0， ) ，且 x1 x2， 则 x1x2 1，由于当 x 1 时， f(x) 0， 所以 f? ?x1x2 0，即 f(x1) f(x2) 0， 因此 f(x1) f(x2)， 所以函数 f(x)在区间 (0， ) 上是单调递减函数 (3) f(x)在 (0， ) 上是单调递减函数 f(x)在 2,9上的最小值为 f(9) 由 f? ?x1x2 f(x
10、1) f(x2)得， f? ?93 f(9) f(3)，而 f(3) 1，所以 f(9) 2. f(x)在 2,9上的最小值为 2. B 能力提升练 1函数 f(x)的定义域为 D，若对于任意 x1， x2 D，当 x1 x2时，都有 f(x1) f(x2)，则称函数 f(x)在 D 上为非减函数，设函数 f(x)在 0,1上为非减函数，且满足以下三个条件： f(0) 0； f? ?x3 12f(x)； f(1 x) 1 f(x)则 f? ?13 f? ?18 等于 ( ) A.12 B.34 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 1 D.23 解析 由 ，令 x 0，可得 f(1) 1.由
11、， 令 x 1，可得 f? ?13 12f(1) 12. 令 x 13，可得 f? ?19 12f? ?13 14. 由 结合 f? ?13 12， 可知 f? ?23 12，令 x 23， 可得 f? ?29 12f? ?23 14， 因为 19 18 29且函数 f(x)在 0,1上为非减函数， 所以 f? ?18 14， 所以 f? ?13 f? ?18 34. 答案 B 2设函数 y f(x)在 ( ， ) 内有定义对于给定的正数 k，定义函数 fk(x)? f x ， f x k，k， f x k， 取函数 f(x) 2 |x|.当 k 12时，函数 fk(x)的单调递增区间为( )
12、 A ( ， 0) B (0， ) C ( ， 1) D (1， ) 解析 由 f(x) 12，得 1 x 1. 由 f(x) 12，得 x 1 或 x1. 所以 f12(x)? 2 x， x1 ，12， 1 x 1，2x， x 1.故 f12(x)的单调递增区间为 ( ， 1) 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 3若函数 f(x) ax(a 0， a1) 在 1,2上的最大值为 4，最小值为 m， 且函数 g(x) (1 4m) x在 0， ) 上是增函数，则 a _ . 解析 函数 g(x)在 0， ) 上为增函数，则 1 4m 0，即 m 14.若 a 1，则函数f(x)在 1
13、,2上的最小值为 1a m，最大值为 a2 4，解得 a 2， 12 m，与 m 14矛盾；当 0 a 1 时，函数 f(x)在 1,2上的最小值为 a2 m，最大值为 a 1 4，解得 a 14， m 116.所以 a 14. 答案 14 4 (2017 山东 )若函数 exf(x)(e 2.718 28? 是自然对数的底数 )在 f(x)的定义域上单调递增，则称函数 f(x)具有性质 M.下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为 _ f(x) 2 x f(x) 3 x f(x) x3 f(x) x2 2 解析 exf(x) ex2 x ? ?e2 x在 R 上单调递增，故 f(x) 2
14、x具有 M 性质； exf(x) ex3 x ? ?e3 x在 R 上单调递减， 故 f(x) 3 x不具有 M 性质； exf(x) ex x3，令 g(x) ex x3， 则 g( x) ex x3 ex3 x2 x2ex(x 2)， 当 x 2 时， g( x) 0， 当 x 2 时， g( x) 0， exf(x) ex x3在 ( ， 2)上单调递减， 在 ( 2， ) 上单调递增， 故 f(x) x3不具有 M 性质； exf(x) ex(x2 2)，令 g(x) ex(x2 2)， 则 g( x) ex(x2 2) ex2 x ex(x 1)2 1 0， exf(x) ex(x2
15、 2)在 R 上单调递增， 故 f(x) x2 2 具有 M 性质 答案 5已知 f(x)是定义在 1,1上的奇函数，且 f(1) 1，若 a， b 1,1， a b0时，有 f a f ba b 0 成立 (1)判断 f(x)在 1,1上的单调性，并证明它； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)解不等式： f? ?x 12 f? ?1x 1 ； (3)若 f(x) m2 2am 1 对所有的 a 1,1恒成立，求实数 m 的取值范围 解 (1)任取 x1， x2 1,1，且 x1 x2， 则 x2 1,1， f(x)为奇函数， f(x1) f(x2) f(x1) f( x2) f x1 f x2x1 x2( x1 x2)， 由已知得 f x1 f x2x1 x2 0， x1 x2 0， f(x1) f(x2) 0，
