1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 46 双曲线 基础巩固 1.(2017全国 ,文 5)若 a1,则双曲线 -y2=1的离心率的取值范围是 ( ) A.(,+ ) B.(,2) C.(1,) D.(1,2) 2.(2017辽宁抚顺重点校一模 )当双曲线 M:=1(-2 m0,b0)的离心率为 e,一条渐近线的方程为 y=x,则 e=( ) A. B. C.2 D. 4.已知双曲线 =1(a0,b0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆 (x-2)2+y2=3相切 ,则双曲线的方程为 ( ) A.=1 B.=1 C.-y2=1 D.x2-=1 5.设 F1,F2分别为双曲
2、线 =1(a0,b0)的左、右焦点 ,双曲线上存在一点 P 使得 (|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为 ( ) A. B. C.4 D. 6.已知双曲线 =1的一个焦点为 F(2,0),且双曲线与圆 (x-2)2+y2=1相切 ,则双曲线的离心率为 ( ) A. B.2 C.3 D.4 7.若双曲线 =1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则该双曲线的离心率为 . 8.已知双曲线 E:=1(a0,b0),若矩形 ABCD的四个顶点在 E上 ,AB,CD 的中点为 E的两个焦点 ,且2|AB|=3|BC|,则 E的离心率是 . 9.设 A,B分别为
3、双曲线 =1(a0,b0)的左、右顶点 ,双曲线的实轴长为 4,焦点到渐近线的距离为 . (1)求双曲线的方程 ; (2)已知直线 y=x-2与双曲线的右支交于 M,N两点 ,且在双曲线的右支上存在点 D,使 =t,求 t的值及点 D的坐标 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P满足条件 |PM|-|PN|=2,记动点 P的轨迹为 W. (1)求 W的方程 ; (2)若 A和 B是 W上的不同两点 ,O是坐标原点 ,求的最小值 . 能力提升 =【 ;精品教育资源文库 】 = 11.(2017天津 ,文 5)已知双曲线 =1(a0,b0)的右焦
4、点为 F,点 A在双曲线的渐近线上 , OAF是边长为 2的等边三角形 (O为原点 ),则双曲线的方程为 ( ) A.=1 B.=1 C.-y2=1 D.x2-=1 12.已 知双曲线 C:=1(a0,b0)的右焦点为 F,以 F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为 M,且 MF 与双曲线的实轴垂直 ,则双曲线 C的离心率为 ( ) A. B. C. D.2 13.若点 P在曲线 C1:=1上 ,点 Q在曲线 C2:(x-5)2+y2=1 上 ,点 R在曲线 C3:(x+5)2+y2=1上 ,则 |PQ|-|PR|的最大值是 . 14.已知双曲线 C:x2-y2=1及直线 l:y
5、=kx-1. (1)若 l与 C有两个不同的交点 ,求实数 k的取值范围 ; (2)若 l与 C交于 A,B两点 ,O是坐标原点 ,且 AOB的面积为 ,求实数 k的值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 15. 如图 ,O为坐标原点 ,双曲线 C1:=1(a10,b10)和椭圆 C2:=1(a2b20)均过点 P,且以 C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2的正方形 . (1)求 C1,C2的方程 ; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1交于 A,B两点 ,与 C2只有一个公共点 ,且 |=|?证明你的结论 . 高考预测 16. 如图所示的曲线是由两个关于 x轴对称
6、的半圆和一个双曲线的一部分组 成的图形 ,其中上半个圆所在圆的方程是 x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点 A,B 是该圆与 x轴的交点 ,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点 . (1)试求双曲线的标准方程 . (2)记双曲线的左、右焦点分别为 F1,F2,试在曲线上求点 P,使得 F1PF2是直角 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 1.C 解析 :由题意得 e2=1+. 因为 a1,所以 10,b0)的渐近线方程为 y=x. 因为该双曲线的渐近线与圆 (x-2)2+y2=3相切 , 所以 ,解得 b2=3a2. 又因为 c2=a2+b2=4,所以 a2=1,b2=
7、3. 故所求双曲线的方程为 x2-=1. 5.D 解析 :由双曲线的定义知 ,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以 4a2=b2-3ab,即 -3= 4,解得 =4. 因为双曲线的离心率 e=, 所以 e=.故选 D. 6.B 解析 :因为双曲线 =1的一个焦点为 F(2,0), 所以 c=2,因为双曲线与圆 (x-2)2+y2=1相切 , 所以圆心为 F(2,0),半径 r=1. 所以 c-a=1,即 a=1, 所以双曲线的离心率 e=2. 7. 解析 :因为双曲线的一条渐近线方程为 y=x,即为 bx-ay=0,一个焦点为 (c,0),所以焦点到渐近线的距离为 =b= 2c=c,所以
8、 c2=a2+b2=a2+c2,得 . 8.2 解析 :由双曲线和矩形的对称性可知 AB x轴 ,设点 A的横坐标为 c,则由 =1,解得 y=. 不妨设 A,B,则 |AB|=,|BC|=2c,由 2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率 e=2或 e=-(舍去 ),所以离心率为 2. 9.解 :(1)由题意知 a=2,故可得一条渐近线方程为 y=x, 即 bx-2y=0,所以 . 所以 b2=3,所以双曲线的方程为 =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16x+84=
9、0, 则 x1+x2=16,y1+y2=12. 故解得 由 =t,得 (16,12)=(4t,3t),故 t=4,点 D的坐标为 (4,3). 10.解 :(1)由 |PM|-|PN|=2知动点 P的轨迹是以 M,N为焦点的双曲线的右支 ,实半轴长 a=. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又焦距 2c=4,所以虚半轴长 b=. 所以 W的方程为 =1(x) . (2)设 A,B的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2). 当 AB x轴时 ,x1=x2,y1=-y2, 从而 =x1x2+y1y2=2. 当 AB与 x轴不垂直时 ,设直线 AB 的方程为 y=kx+m(k 1),与 W的方程
10、联立 ,消去 y得 (1-k2)x2-2kmx-m2-2=0, 则 x1+x2=,x1x2=, 所以 =x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =+m2 =2+. 又因为 x1x20,所以 k2-10. 所以 2. 综上所述 ,当 AB x轴时 ,取得最小值 2. 11.D 解析 : 双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F(c,0),点 A在双曲线的渐近线上 ,且 OAF是边长为 2的等边三角形 ,不妨设点 A在渐近线 y=x上 , 解得 双曲线的方程为 x2-=1.故选 D. 12.C 解析 :设 F(c,0),渐近线
11、方程为 y=x, 可得点 F到渐近线 的距离为 =b, 即有圆 F的半径为 b. 令 x=c,可得 y=b=. 由题意可得 =b,即 a=b,则 c=a. 即离心率 e=. 13.10 解析 :依题意得 ,点 F1(-5,0),F2(5,0)分别为双曲线 C1的左、右焦点 ,因此有 |PQ|-|PR| |(|PF2|+1)-(|PF1|-1)| |PF2|-|PF1|+2=2 4+2=10,故 |PQ|-|PR|的最大值是 10. 14.解 :(1)双曲线 C与直线 l 有两个不同的交点 , 则方程组有两个不同的实数根 , 整理得 (1-k2)x2+2kx-2=0. 故 解得 -|x2|时 ,
12、 =【 ;精品教育资源文库 】 = S OAB=S OAD-S OBD =(|x1|-|x2|)=|x1-x2|; 当 A,B在双曲线的两支上且 x1x2时 , S OAB=S ODA+S OBD =(|x1|+|x2|)=|x1-x2|. 故 S OAB=|x1-x2|=, 即 (x1-x2)2=(2)2,即 =8,解得 k=0或 k=. 又 -0,b0), 则 =1,且 a=2,解得 b=2. 则双曲线的标准方程为 =1. (2)由 (1)知双曲线的左、右焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0). 若 F1PF2是直角 ,则设 P(x,y),则有 x2+y2=8. 由解得 x2=6,y2=2. 由解得 y= 1,不满足题意 ,舍去 . 故在曲线上所求点 P的坐标为 (),(-),(-,-),(,-).
