1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课堂达标 (二十三 ) 平面向量的概念及线性表示 A 基础巩固练 1下列四个结论： AB BC CA 0； AB MB BO OM 0； AB AC BD CD 0； NQ QP MN MP 0. 其中一定正确的结论个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 AB BC CA AC CA 0， 正确； AB MB BO OM AB MO OM AB ， 错； AB AC BD CD CB BD DC CB BC 0， 正确； NQ QP MN MP NP PN 0， 正确故 正确 答案 C 2 (2018 北京市西城区一模 )在 ABC 中，点 D
2、满足 BC 3BD ，则 ( ) A.AD 13AB 23AC B.AD 13AB 23AC C.AD 23AB 13AC D.AD 23AB 13AC 解析 点 D 满足 BC 3BD ， AD AB BD AB 13BC AB 13(AC AB ) 23AB 13AC ，故选： D 答案 D 3已知向量 a， b，且 AB a 2b， BC 5a 6b， CD 7a 2b，则一定共线的三点是 ( ) A A、 B、 D B A、 B、 C C B、 C、 D D A、 C、 D 解析 AD AB BC CD 3a 6b 3AB . 因为 AB 与 AD 有公共点 A，所以 A、 B、 D
3、三点共线故选 A. 答案 A 4 (2018 辽宁沈阳三模 )已知向量 a 与 b 不共线， AB a mb， AC na b(m， n R)，则 AB 与 AC 共线的条件是 ( ) A m n 0 B m n 0 C mn 1 0 D mn 1 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由 AB a mb， AC na b(m， n R)共线，得 a mb (na b)，即 mn 1 0，故选： D. 答案 D 5在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD 2DB ， CD 13CA CB ，则 等于 ( ) A.23 B.13 C 13 D 23 解析 如图所示，过点 D
4、分别作 AC， BC 的平行线，分别交 BC， AC 于点 F， E， 所以 CD CE CF . 因为 AD 2DB ，所以 CE 13CA ， CF 23CB ， 故 CD 13CA 23CB ，所以 23. 答案 A 6 (2018 淮北市二模 )如图， Rt ABC 中， P 是斜边 BC 上一点， 且满足： BP 12PC ，点 M， N 在过点 P 的直线上，若 AM AB ， AN AC ， ( ， 0)，则 2 的最小 值为 ( ) A 2 B.83 C 3 D.103 解析 AP 23AB 13AC 23 AM 13 AN ，因为 M， N， P 三点共线，所以 23 13
5、1，=【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 2 ( 2 )? ?23 13 43 43 3 43 2 43 3 83，选 B. 答案 B 7在平行四边形 ABCD 中， AB e1， AC e2， NC 14AC ， BM 12MC ，则 MN _.(用 e1，e2表示 ) 解析 如图所示， MN CN CM CN 2 BM CN 23BC 14e2 23(e2 e1) 23e1 512e2. 答案 23e1 512e2 8 (高考北京卷 )在 ABC 中，点 M， N 满足 AM 2MC ， BN NC .若 MN xAB yAC ，则 x_； y _. 解析 因为 AM 2MC ，所以 A
6、M 23AC . 因为 BN NC ，所以 AN 12(AB AC ) 所以 MN AN AM 12(AB AC ) 23AC 12AB 16AC .又 MN xAB yAC ，所以 x 12， y 16. 答案 12； 16 9 (2018 扬州模拟 )在 ABC 中， N 是 AC 边上一点且 AN 12NC ， P 是 BN 上一点，若 AP mAB 29AC ，则实数 m 的值是 _ 解析 如图，因为 AN 12NC ， P 是 BN 上一点所以 AN 13AC ， AP mAB 29AC mAB 23AN ，因为 B，=【 ;精品教育资源文库 】 = P， N 三点共线，所以 m 2
7、3 1，则 m 13. 答案 13 10设 e1， e2是两个不共线的向量，已知 AB 2e1 8e2， CB e1 3e2， CD 2e1 e2. (1)求证： A， B， D 三点共线； (2)若 BF 3e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，求 k 的值 解 (1)证明：由已知得 BD CD CB (2e1 e2) (e1 3e2) e1 4e2， AB 2e18e2， AB 2BD . 又 AB 与 BD 有公共点 B， A， B， D 三点共线 (2)由 (1)可知 BD e1 4e2， BF 3e1 ke2，且 B， D， F 三点共线， BF BD ( R)，即 3e1 k
8、e2 e1 4 e2， 得? 3， k 4 . 解得 k 12. B 能力提升练 1 (2018 山师大附中模拟 )已知平面内一点 P 及 ABC，若 PA PB PC AB ，则点 P与 ABC 的位置关系是 ( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上 C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在 ABC 外部 解析 由 PA PB PC AB 得 PA PC AB PB AP ，即 PC AP PA 2AP ，所以点 P 在线段 AC 上，选 C. 答案 C 2设 O 在 ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 OA OB 2OC 0，则 ABC 的面积和 AOC的面积
9、的比值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析 =【 ;精品教育资源文库 】 = D 为 AB 的中点， 则 OD 12(OA OB )， 又 OA OB 2OC 0， OD OC ， O 为 CD 的中点， 又 D 为 AB 中点， S AOC 12S ADC 14S ABC，则 S ABCS AOC 4. 答案 B 3设 G 为 ABC 的重心，且 sin A GA sin B GB sin C GC 0，则角 B 的大小为_ 解析 G 是 ABC 的重心， GA GB GC 0， GA (GB GC )， 将其代入 sin A GA sin B GB sin C GC 0，得 (
10、sin B sin A)GB (sin C sin A)GC 0. 又 GB ， GC 不共 线， sin B sin A 0， sin C sin A 0，则 sin B sin A sin C. 根据正弦定理知 b a c， ABC 是等边三角形，则角 B 60. 答案 60 4在直角梯形 ABCD 中， A 90 ， B 30 ， AB 2 3， BC 2，点 E 在线段 CD 上，若 AE AD AB ，则 的取值范围是 _ 解析 由题意可求得 AD 1， CD 3，所以 AB 2DC . 点 E 在线段 CD 上， DE DC (0 1) AE AD DE ， =【 ;精品教育资源文
11、库 】 = 又 AE AD AB AD 2 DC AD 2 DE ， 2 1，即 2. 0 1 ， 0 12. 即 的取值范围是 ? ?0， 12 . 答案 ? ?0， 12 5如图所示，在 ABC 中， D、 F 分别是 BC、 AC 的中点， AE 23AD ， AB a， AC b. (1)用 a、 b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ； (2)求证： B， E， F 三点共线 解 (1)延长 AD 到 G，使 AD 12AG ，连接 BG， CG，得到 ?ABGC，所以 AG a b， AD 12AG 12(a b) AE 23AD 13(a b) AF 12A
12、C 12b. BE AE AB 13(a b) a 13(b 2a) BF AF AB 12b a 12(b 2a) (2)证明：由 (1)可知 BE 23BF ，因为有公共点 B， 所以 B， E， F 三点共线 C 尖子生专练 =【 ;精品教育资源文库 】 = 已知 O， A， B 是不共线的三点，且 OP mOA nOB (m， n R) (1)若 m n 1，求证： A， P， B 三点共线； (2)若 A， P， B 三点共线，求证： m n 1. 证明 (1)若 m n 1， 则 OP mOA (1 m)OB OB m(OA OB )， OP OB m(OA OB )， 即 BP mBA ， BP 与 BA 共线 又 BP 与 BA 有公共点 B， A， P， B 三点共线 (2)若 A， P， B 三点共线， 则存在实数 ，使 BP BA ， OP OB (OA OB ) 又 OP mOA nOB . 故有 mOA (n 1)OB OA OB ， 即 (m )OA (n 1)OB 0. O， A， B 不共线， OA ， OB 不共线， ? m 0，n 1 0， m n 1.
