1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 变化率与导数、导数的计算 A组 基础题组 1.f(x)=ax3+3x2+2,若 f (-1)=4,则 a的值等于 ( ) A. B. C. D. 2.已知曲线 y= -3ln x的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 ( ) A.3 B.2 C.1 D. 3.曲线 y=sin x+ex在点 (0,1)处的切线方程是 ( ) A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0 C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0 4.直线 y=kx+1与曲线 y=x3+ax+b相切于点 A(1,3),则 2a+b 的 值等于 ( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 5
2、.若点 P是曲线 y=x2-ln x上任意一点 ,则点 P到直线 y=x-2的最小距离为 ( ) A.1 B. C. D. 6.如图 ,y=f(x)是可导函数 ,直线 l:y=kx+2是曲线 y=f(x)在 x=3处的切线 ,令 g(x)=xf(x),其中 g(x)是g(x)的导函数 ,则 g(3)= . 7.已知 f(x)=ax4+bcos x+7x-2.若 f (2 017)=6,则 f (-2 017)= . 8.已知 f(x)为偶函数 ,当 x0 时 , f(x)=e-x-1-x,则曲线 y=f(x)在点 (1,2)处的切线方程是 . 9.(2018 湖南长沙质检 )已知函数 f(x)
3、=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点 (2,-6)处的切线方程 ; (2)直线 l为曲线 y=f(x)的切线 ,且经过原点 ,求直线 l的方程及切点坐标 ; (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3垂直 ,求切点坐标与切线方程 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 10.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR). (1)若函数 f(x)的图象过原点 ,且在原点处的 切线斜率为 -3,求 a,b的值 ; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y轴的切线 ,求 a的取值范围 . B组 提升题组 1.(2017 四川成都第二次诊断
4、检测 )若曲线 y=f(x)=ln x+ax2(a为常数 )不存在斜率为负数的切线 ,则实数a 的取值范围是 ( ) A. B. C.(0,+) D.0,+) 2.已知 f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在交点 (0,m)处有公切线 ,则 a+b=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.设 函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点 (2, f(2)处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式 ; (2)证明 :曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x所围成的三角形的面积为定值
5、,并求此定值 . 4.已知函数 f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线 m:y=kx+9,且 f (-1)=0. (1)求 a 的值 ; (2)是否存在 k,使直线 m既是曲线 y=f(x)的切线 ,又是曲线 y=g(x)的切线 ?如果存在 ,求出 k的值 ;如果不存在 ,请 说明理由 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.D 由题易知 f (x)=3ax2+6x,f ( -1)=3a-6=4,a= . 2.A 由题意知 y= - = (x0),解得 x=3,即切点的横坐标为 3. 3.C 因为 y=sin x+ex, 所以
6、 y=cos x+ex, 所以 y|x=0=cos 0+e0=2, 所以曲线 y=sin x+ex在点 (0,1)处的切线方程为 y-1=2(x-0),即 2x-y+1=0. 4.C 由 y=x3+ax+b得 y=3x2+a,则 由此解得 所以 2a+b=1,故选 C. 5.B 过点 P作与 y=x-2平行 ,且与曲线 y=x2-ln x相切的直线 , 设 P(x0, -ln x0),则 y =2x0- . 2x 0- =1,x 0=1或 x0=- (舍去 ).P(1,1), 点 P到直线 y=x-2的最小距离 d= = . 6. 答案 0 解析 由题图可得曲线 y=f(x)在 x=3处的切线
7、的斜率等于 - ,即 f (3)=- .因为 g(x)=xf(x),所以g(x)=f(x)+xf (x),g(3)=f(3)+3f (3),由题图可知 f(3)=1,所以 g(3)=1+3 =0. 7. 答案 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题易知 f (x)=4ax3-bsin x+7, f ( -x)=4a(-x)3-bsin(-x)+7 =-4ax3+bsin x+7. f (x)+f ( -x)=14, 又 f (2 017)=6, f ( -2 017)=14-6=8. 8. 答案 y=2x 解析 当 x0时 ,-x0),f(x) =ex-1+1(x0), f (1)=
8、2,故曲线 y=f(x)在点 (1,2)处的切线方程是 y-2=f (1)(x -1),即 y=2x. 9. 解析 (1)可判定点 (2,-6)在曲线 y=f(x)上 . 因为 f (x)=(x3+x-16)=3x2+1, 所以 f(x)在点 (2,-6)处的切线的斜率为 f (2)=13, 所以切线的方程为 y+6=13(x-2), 即 y=13x-32. (2)设切点坐标为 (x0,y0), 则直线 l的斜率为 f (x0)=3 +1, 所以直线 l的方程为 y=(3 +1)(x-x0)+ +x0-16, 因为直线 l过原点 ,所以 0=(3 +1)(0-x0)+ +x0-16, 整理得
9、, =-8,所以 x0=-2, 所以 y0=(-2)3+(-2)-16=-26, f (x0)=3( -2)2+1=13. 所以直线 l的方程为 y=13x,切点坐标为 (-2,-26). (3)因为切线与直线 y=- x+3 垂直 , 所以切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为 (x0,y0), 则 f (x0)=3 +1=4,所以 x0=1. 所以 或 即切点坐标为 (1,-14)或 (-1,-18), 切线方程为 y=4(x-1)-14或 y=4(x+1)-18, 即 y=4x-18或 y=4x-14. 10. 解析 f (x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2). =【 ;精品教育资源
10、文库 】 = (1)由题意得 解得 (2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y轴的切线 , 所以关于 x的方程 f (x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根 , 所以 =4(1-a)2+12a(a+2)0, 即 4a2+4a+10,所以 a - . 所以 a的取值范围是 . B组 提升题组 1.D f (x)= +2ax= (x0),根据题意有 f (x)0(x0) 恒成立 ,所以 2ax2+10(x0) 恒成立 ,即2a - (x0)恒成立 ,所以 a0, 故实数 a的取值范围为 0,+). 2.C 依题意得 , f (x)=-asin x,g(x)=2x+b
11、, f (0)=g(0), -asin 0=20+b, 故b=0,m=f(0)=g(0),m=a=1, 因此 a+b=1,故选 C. 3. 解析 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3, 当 x=2时 ,y= ,故 2a- = , 又 f (x)=a+ ,即有 a+ = , 解得 a=1,b=3. 故 f(x)=x- . (2)证明 :设 P(x0,y0)为 曲线上任意一点 ,由 (1)知 , f (x)=1+ ,则曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为y-y0= (x-x0),即 y- = (x-x0). =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 x=0,得 y=- ,从而得切
12、线与直线 x=0的交点坐标为 . 令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x的交点坐标为 (2x0,2x0). 所以曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x所围成的三角形的面积为 |2x0|=6. 故曲线 y=f(x)上任意一点处的切线与直线 x=0和直线 y=x所围成的三角形的面积为定值 ,此定值为 6. 4. 解析 (1)由已知得 f (x)=3ax2+6x-6a, 因为 f (-1)=0,所以 3a-6-6a=0,所以 a=-2. (2)存在 .理由如下 :由已知得 ,直线 m恒过定点 (0,9),若直线 m是曲线 y=g(x)的切线 ,则设切
13、点为(x0,3 +6x0+12). 因为 g(x0)=6x0+6, 所以切线方程为 y-(3 +6x0+12)=(6x0+6)(x-x0), 将 (0,9)代入切线方程 ,解得 x0=1. 当 x0=-1时 ,切线方程为 y=9; 当 x0=1 时 ,切线方程为 y=12x+9. 由 (1)知 f(x)=-2x3+3x2+12x-11, 由 f (x)=0得 -6x2+6x+12=0, 解得 x=-1或 x=2. 在 x=-1 处 ,y=f(x)的切线方程为 y=-18, 在 x=2处 ,y=f(x)的切线方程为 y=9, 所以 y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9. 由 f (x)=12得 -6x2+6x+12=12,解得 x=0或 x=1. 在 x=0处 ,y=f(x)的切线方程为 y=12x-11, 在 x=1处 ,y=f(x)的切线方程为 y=12x-10, 所以 y=f(x)与 y=g(x)的公切线不是 y=12x+9. 综上所述 ,y=f(x)与 y=g(x)的公切线是 y=9,此时 k=0.
