1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (二十七 ) 平面向量的数量积 基础巩固 一、选择题 1对于任意向量 a， b， c，下列命题中正确的是 ( ) A |a b| |a|b| B |a b| |a| |b| C (a b)c a(b c) D a a |a|2 解析 a b |a|b|cos a， b， |a b| a|b|， A 错误；根据向量加法的平行四边形法则， |a b| a| |b|，只有当 a， b 同向时取 “ ” ， B 错误； (a b)c是与 c 共线的向量， a(b c)是与 a 共线的向量， C 错误； a a |a|a|cos0 |a|2， D 正确故选
2、 D. 答案 D 2 (2018 辽宁协作体期末 )四边形 ABCD 中， AB DC且 |AD AB| |AD AB|，则四边形ABCD 为 ( ) A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形 解析 因为四边形 ABCD 中， AB DC，所以四边形 ABCD 是平行四边形因为 |AD AB| |AD AB|，所以 |BD| |AC|，即对角线相等，所以平行四边形 ABCD 是矩形故选 C. 答案 C 3在边长 为 1 的等边 ABC 中，设 BC a， CA b， AB c，则 a b b c c a ( ) A 32 B 0 C.32 D 3 解析 依 题 意 有 a b b c c a 1
3、1cos120 11cos120 11cos120 ? ? 12 ? ? 12 ? ? 12 32. 答案 A 4 (2018 新疆维吾尔自治区二检 )已知向量 a， b 满足 a b， |a| 2， |b| 3，且 3a 2b 与 a b 垂直，则实数 的值为 ( ) A.32 B 32 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 32 D 1 解析 因为 a b，所以 a b 0. 又 (3a 2b) ( a b)， 所以 (3a 2b)( a b) 3 a2 3a b 2 a b 2b2 12 18 0，解得 32. 答案 A 5若向量 a， b 满足： |a| 1， (a b) a， (2a
4、 b) b，则 |b| ( ) A 2 B. 2 C 1 D. 22 解析 因为 (a b) a，所以 (a b) a 0，即 |a|2 a b 0， 又因为 |a| 1，所以 a b 1.又因为 (2a b) b， 所以 (2a b) b 0，即 2a b |b|2 0，所以 |b|2 2，所以 |b| 2. 答案 B 6 (2015 安徽卷 ) ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， b 满足 AB 2a， AC2a b，则下列结论正确的是 ( ) A |b| 1 B a b C a b 1 D (4a b) BC解析 AB 2a， AC 2a b， a 12AB， b AC
5、AB BC， ABC 是边长为 2 的等边三角形， |b| 2， a b 12AB BC 1，故 a， b 不垂直， 4a b 2AB BC AB AC，故 (4a b) BC (AB AC) BC 2 2 0， (4a b) BC，故选 D. 答案 D 二、填空题 7已知向量 a， b 满足 (a 2b)( a b) 6，且 |a| 1， |b| 2，则 a 与 b 的夹角为_ 解析 (a 2b)( a b) a2 a b 2b2 1 a b 22 2 6， a b 1，所以cos a， b a b|a|b| 12，又 a， b 0， ， a， b 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答
6、案 3 8. (2018 沧州百校联盟期中 )如图， ABC 中， AC 3， BC 4， C 90 ， D 是 BC的中点，则 BA AD的值为 _ 解析 如图，建立直角坐标系，则 C(0,0)， A(3,0)， B(0,4)， D(0,2) 则 BA (3， 4)， AD ( 3,2) BA AD 3( 3) 42 17. 答案 17 9已知平面向量 a (1,1)， b ( 2,2)， c ka b(k R)，且 c 与 a 的夹角为 4 ，则k _. 解析 由 题 意 得 c (k 2， k 2) ， 因 为 cos c， a c a|c| a|k 2 k 22 k 2 k 222 ，
7、所以kk2 422 ，解得 k 2. 答案 2 三、解答题 10 (2017 合肥模拟 )已知向量 a (1,2)， b (2， 2) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)设 c 4a b，求 (b c)a； (2)若 a b 与 a 垂直，求 的值； (3)求向量 a 在 b 方向上的投影 解 (1) a (1,2)， b (2， 2)， c 4a b (4,8) (2， 2) (6,6) b c 26 26 0， (b c)a 0a 0. (2)a b (1,2) (2， 2) (2 1,2 2 )， 由于 a b 与 a 垂直， 2 1 2(2 2 ) 0， 52. 的值为 52.
8、(3)设向量 a 与 b 的夹角为 ，向量 a 在 b 方向上的投影为 |a|cos . |a|cos a b|b| 12 22 2 22 2 22 . 能力提升 11若 |a b| |a b| 2|a|，则向量 a b 与 b 的夹角为 ( ) A. 6 B. 3 C.56 D.23 解析 由 |a b|2 |a b|2，得 a2 2a b b2 a2 2a b b2，得 a b 0.又 |ab|2 4a2，得 a2 2a b b2 4a2，得 b2 3a2.由 (a b) b b2，设 a b 与 b 的夹角为 ，则 cos a b b|a b|b| b22|a| 3|a| 3a22 3a
9、232 .因为 0， ，所以 56 ，故选 C. 答案 C 12 (2017 山西大学附中期末 )已知 a， b 是平面内互不相等的两个非零向量，且 |a| 1， a b 与 b 的夹角为 150 ， 则 |b|的取值范围是 ( ) A (0， 3 B (0,1 C (0,2 D (0,2 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 如图所示，设 OA a， OB b，则 BA OA OB a b. 由 |a| 1， a b 与 b 的夹角为 150 ，可得 OAB 中， OA 1， OBA 30. 由正弦定 理可得 OAB 的外接圆的半径 r 1，则点 B 为圆上的动点 由图可设 b OB
10、(1 cos ， sin )， 则 |b| cos 2 sin2 2 2cos . |b| (0,2故选 C. 答案 C 13 (2018 河北保定模拟 )若 a (2 ， 1)， b (3， )， a， b为钝角，则实数 的取值范围是 _ 解析 a (2 ， 1)， b (3， )， 由 a b 3(2 ) 0，得 32. 若 a， b 共线，则 (2 ) 3 0，解得 3 或 1. 即当 3 时， a， b 共线反向 若 a， b为钝角，则 32且 3. 答案 ( ， 3) ? ? 3， 32 14 (2016 浙江卷 )已知向量 a， b， |a| 1， |b| 2.若对任意单位向量 e
11、，均有 |a e| |b e| 6，则 a b 的最大值是 _ 解析 不妨令 a e0 ， b e 0，对任意的单位向量 e，均有 |a e| |b e| 6，即 a e b e 6，即 (a b) e 6成立 a b 与 e 同向时等号成立， |a b| 6. |a|2 |b|2 2a b6. |a| 1， |b| 2， a b 12，故 a b 的最大值为 12. 答案 12 15已知 |a| 4， |b| 3， (2a 3b)(2 a b) 61， =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 a 与 b 的夹角 ； (2)求 |a b|； (3)若 AB a， BC b，求 ABC 的面
12、积 解 (1) (2a 3b)(2 a b) 61， 4|a|2 4a b 3|b|2 61. 又 |a| 4， |b| 3， 64 4a b 27 61， a b 6. cos a b|a|b| 643 12. 又 0 ， 23 . (2)|a b|2 (a b)2 |a|2 2a b |b|2 42 2( 6) 32 13， |a b| 13. (3) AB与 BC的夹角 23 ， ABC 23 3. 又 |AB| |a| 4， |BC| |b| 3， S ABC 12|AB|BC|sin ABC 1243 32 3 3. 16.如图，在 OAB 中，已知 P 为线段 AB 上的一点， O
13、P x OA y OB. (1)若 BP PA，求 x， y 的值； (2)若 BP 3PA， |OA| 4， |OB| 2，且 OA与 OB的夹角为 60 时，求 OP AB的值 解 (1) BP PA， BO OP PO OA， 即 2OP OB OA， OP 12OA 12OB，即 x 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = y 12. (2) BP 3PA， BO OP 3PO 3OA， 即 4OP OB 3OA， OP 34OA 14OB， x 34， y 14. OP AB?34OA 14OB( OB OA) 14OB OB 34OA OA 12OA OB 142 2 344 2 1242 12 9. 延伸拓展 1 (2017 湖北黄冈二模 )已知平面向量 a， b， c 满足 |a| |b| 1， a (a 2b)， (c 2a)( c b) 0，则 |c|的最大值与最小值的和为 ( ) A 0 B. 3 C. 2 D. 7 解析 a (a 2b)， a( a 2b) 0，即 a2 2a b，又 |a| |b| 1， a b12， a 与 b 的夹角为 60. 设 OA a， OB b，以 O 点为坐标原点， OB的方向
