1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 56 坐标系与参数方程 基础巩固 1.在平面直角坐标系 xOy中 ,已知直线 l的参数方程为 (t为参数 ),椭圆 C的参数方程为 ( 为参数 ).设直线 l与椭圆 C相交于 A,B两点 ,求线段 AB的长 . 2.在平面直角坐标系 xOy中 ,将曲线 C1:x2+y2=1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍 ,纵坐标伸长为原来的 2倍后 ,得到曲线 C2;以坐标原点 O为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,直线 l的极坐标方程是 (2cos -sin )=6. (1)写出曲线 C2的参数方程和直线 l的直角坐标方程 ; (2)在曲线 C2上求一点
2、 P,使点 P到直线 l的距离 d最大 ,并求出此最大值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 3.(2017安徽马鞍山一模 )在平面直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数 , R),在以坐标原点为极点 ,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 C2: sin. (1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程 ; (2)若曲线 C1和曲线 C2相交于 A,B两点 ,求 |AB|的值 . 4.在平面直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1的参数方程为 (t为参数 ,a0).在以坐标 原点为极点 ,x轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 C2:= 4cos . (1)说明 C1
3、是哪一种曲线 ,并将 C1的方程化为极坐标方程 ; (2)直线 C3的极坐标方程为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上 ,求 a. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.在平面直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1的参数方程为 (t为参数 ).在以坐标原点 O为极点 ,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中 ,曲线 C2的极坐标方程为 cos. (1)把曲线 C1的参数方程化为普通方程 ,C2的极坐标方程化为直角坐标方程 ; (2)若曲线 C1,C2相交于 A,B两点 ,AB的中点为 P,过点 P作曲线 C2的垂线交曲线 C1于 E,F两点 ,求|PE| |P
4、F|的值 . 能力提升 6.(2017山西临汾三模 )在平面直角坐标系 xOy中 ,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数 ),以坐标原点为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系 .曲线 C2的极坐标方程为 sinm. (1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程 ; (2)若曲线 C1与曲线 C2有公共点 ,求实数 m的取值范围 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.已知直线 C1:(t为参 数 ),圆 C2:( 为参数 ). (1)当 = 时 ,求 C1被 C2截得的线段的长 ; (2)过坐标原点 O 作 C1的垂线 ,垂足为 A,当 变化时 ,求点 A 轨迹的参数方程 ,并指出它
5、是什么曲线 . 高考预测 8.在平面直角坐标系中 ,以坐标原点为极点 ,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ,已知曲线 C的极坐标方程为 sin2=a cos (a0),过点 P(-2,-4)的直线 l的参数方程为 (t为参数 ),直线 l与曲线 C相交于 A,B两点 . (1)写出曲线 C的直角坐标方程和直线 l的普通方程 ; (2)若 |PA| |PB|=|AB|2,求 a 的值 . 答案： 1.解 :椭圆 C的普通方程为 x2+=1. 将直线 l的参数方程 (t为参数 )代入 x2+=1,得 =1, 即 7t2+16t=0,解得 t1=0,t2=-. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以
6、 AB=|t1-t2|=. 2.解 :(1)由题意知 ,曲线 C2方程为 =1,故曲线 C2的参数方程为 ( 为参数 ). 直线 l的直角坐标方程为 2x-y-6=0. (2)设 P(cos ,2sin ), 则点 P到直线 l的距离为 d=, 故当 sin(60 - )=-1时 ,d取到最大值 2,此时取 = 150, 点 P坐标是 . 3.解 :(1)由 ?x2+(y-1)2=1, 由 sin sin - cos = ?y-x=2,即 C2:x-y+2=0. (2) 直线 x-y+2=0与圆 x2+(y-1)2=1相交于 A,B两点 , 又 x2+(y-1)2=1的圆心 (0,1),半径为
7、 1, 故圆心到直线的距离 d=, |AB|=2. 4.解 :(1)消去参数 t得到 C1的普通方程 x2+(y-1)2=a2,C1是以 (0,1)为圆心 ,a为半径的圆 . 将 x= cos ,y= sin 代入 C1的普通方程中 ,得到 C1的极坐标方程为 2-2 sin + 1-a2=0. (2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若 0, 由方程组得 16cos2 -8sin cos + 1-a2=0, 由已知 tan = 2,可得 16cos2 -8sin cos = 0, 从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去 ),a=1. a=1时 ,极点也为 C1,C2的公共点 ,在
8、 C3上 , 所以 a=1. 5.解 :(1)消去参数可得 C1:y2=4x, C2:x-y-1=0. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 AB中点为 P(x0,y0), 联立可得 x2-6x+1=0. x1+x2=6,x1x2=1, AB中垂线的参数方程为 (t为参数 ). y2=4x. 将 代入 中 ,得 t2+8t-16=0, t1t 2=-16. |PE|PF|=|t 1t 2|=16. 6.解 :(1)曲线 C1的参数方程为 消去参数 ,可得 y=x2(-2 x2), 由 sinm, 得 sin - cos =m , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以曲线 C2的直
9、角坐标方程为 x-y+m=0. (2)由可得 x2-x-m=0, 曲线 C1与曲线 C2有公共点 , m=x2-x=. -2 x2, - m6 . 7.解 :(1)当 = 时 ,C1的普通方程为 y=(x-1),C2的普通方程为 x2+y2=1. 联立方程组解得 C1与 C2的交点坐标为 (1,0)与 . 故 C1被 C2截得的线段的长为 =1. (2)将 C1的参数方程代入 C2的普通方程得 t2+2tcos = 0, 设直线 C1与圆 C2交于 M,N两点 ,M,N两点对应的参数分别为 t1,t2, 则 A点对应的参数 t=-cos , 故 A点坐标为 (sin2 ,-cos sin ).
10、 故当 变化时 ,点 A轨迹的参数方程为 ( 为参数 ). 因此 ,点 A轨迹的普通方程为 +y2=. 故点 A的轨迹是以为圆心 ,半径为的圆 . 8.解 :(1) sin2=a cos (a0), 2sin2=a cos (a0),即 y2=ax(a0). 直线 l的参数方程消去参数 t,得普通方程为 y=x-2. (2)将直线 l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程 y2=ax(a0)中 , 得 t2-(a+8)t+4(a+8)=0, 设 A,B两点对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=(a+8),t1t 2=4(a+8). |PA|PB|=|AB| 2, t1t 2=(t1-t2)2. (t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t 2=5t1t 2, 即 (8+a)2=20(8+a),解得 a=2或 a=-8(不合题意 ,应舍去 ), a的值为 2.
