1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 圆的方程 考纲传真 (教师用书独具 )1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 .2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 (对应学生用书第 134 页 ) 基础知识填充 1圆的定义及方程 定义 平面内与 定点 的距离等于 定长 的点的集合 (轨迹 ) 标准 方程 (x a)2 (y b)2 r2(r 0) 圆心 (a， b)，半径 r 一般 方程 x2 y2 Dx Ey F 0， (D2 E2 4F 0) 圆心 ? ? D2， E2 ， 半径 12 D2 E2 4F 2.点与圆的位置关系 点 M(x0， y0)与圆 (x a)2 (y b
2、)2 r2的位置关系： (1)若 M(x0， y0)在圆外，则 (x0 a)2 (y0 b)2 r2. (2)若 M(x0， y0)在圆上，则 (x0 a)2 (y0 b)2 r2. (3)若 M(x0， y0)在圆内，则 (x0 a)2 (y0 b)2 r2. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)确定圆的几何要 素是圆心与半径 ( ) (2)方程 (x a)2 (y b)2 t2(t R)表示圆心为 (a， b)，半径为 t 的一个圆 ( ) (3)方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是 A C0 ，
3、B 0， D2 E2 4AF0.( ) (4)若点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 Dx Ey F 0 外，则 x20 y20 Dx0 Ey0 F0.( ) 解析 由圆的定义及点与圆的位置关系，知 (1)(3)(4)正确 (2)中，当 t0 时，表 示圆心为 ( a， b)，半径为 |t|的圆，不正确 答案 (1) (2) (3) (4) 2圆心为 (1,1)且过原点的圆的方程是 ( ) A (x 1)2 (y 1)2 1 B (x 1)2 (y 1)2 1 C (x 1)2 (y 1)2 2 D (x 1)2 (y 1)2 2 D 由题意得圆的半径为 2，故该圆的方程为 (x 1)2 (
4、y 1)2 2，故选 D. 3 (2016 全国卷 ) 圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则=【 ;精品教育资源文库 】 = a ( ) A 43 B 34 C 3 D 2 A 圆 x2 y2 2x 8y 13 0，得圆心坐标为 (1,4)，所以圆心到直线 ax y 1 0 的距离 d |a 4 1|a2 1 1，解得 a 43. 4点 (2a， a 1)在圆 x2 (y 1)2 5 的内部，则 a 的取值范围是 ( ) A 1 a 1 B 0 a 1 C 1 a 15 D 15 a 1 D 由 (2a)2 (a 2)2 5 得 15 a 1.
5、 5 (教材改编 )圆 C的圆心在 x轴上，并且过点 A( 1,1)和 B(1,3)，则圆 C的方程为 _ (x 2)2 y2 10 设圆心坐标为 C(a,0)， 点 A( 1,1)和 B(1,3)在圆 C 上， | CA| |CB|，即 (a 1)2 1 (a 1)2 9， 解得 a 2，所以圆心为 C(2,0)， 半径 |CA| (2 1)2 1 10， 圆 C 的 方程为 (x 2)2 y2 10. (对应学生用书第 135 页 ) 圆的方程 (1)(2017 豫北名校 4 月联考 )圆 (x 2)2 y2 4 关于直线 y 33 x 对称的圆的方程是 ( ) A (x 3)2 (y 1
6、)2 4 B (x 2)2 (y 2)2 4 C x2 (y 2)2 4 D (x 1)2 (y 3)2 4 (2)(2015 全国卷 ) 过三点 A(1,3)， B(4,2)， C(1， 7)的圆 交 y 轴于 M， N 两点，则 |MN| ( ) A 2 6 B 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 4 6 D 10 (1)D (2)C (1)设圆 (x 2)2 y2 4 的圆心 (2,0)关于直线 y 33 x 对称的点的坐标为 (a， b)，则有? ba 2 33 1，b233 a 22 ，解得 a 1， b 3，从而所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 4.故选 D. (2
7、)设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0， 则? D 3E F 10 0，4D 2E F 20 0，D 7E F 50 0.解得? D 2，E 4，F 20. 圆的方程为 x2 y2 2x 4y 20 0.令 x 0，得 y 2 2 6或 y 2 2 6， M(0， 2 2 6)， N(0， 2 2 6)或 M(0， 2 2 6)， N(0， 2 2 6)， | MN| 4 6，故选 C 规律方法 求圆的方程的两种方法 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 . 待定系数法： 若已知条件与圆心 a， b 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a
8、，b， r 的方程组，从而求出 a， b， r 的值 . 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条 件列出关于 D，E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值 . 易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质 . 跟踪训练 (1)(2018 海口调研 )已知圆 M 与直线 3x 4y 0 及 3x 4y 10 0 都相切，圆心在直线 y x 4 上，则圆 M 的标准方程为 ( ) 【导学号： 79140274】 A (x 3)2 (y 1)2 1 B (x 3)2 (y 1)2 1 C (x 3)2 (y 1)2 1 D (x 3)2 (y
9、1)2 1 (2)(2016 天津高考 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上 ，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y 0 的距离为 4 55 ，则圆 C 的方程为 _ (1)C (2)(x 2)2 y2 9 (1)到两直线 3x 4y 0 和 3x 4y 10 0 的距离都相=【 ;精品教育资源文库 】 = 等的直线方程为 3x 4y 5 0，联立方程组? 3x 4x 5 0，y x 4， 解得 ? x 3，y 1，所以圆 M 的圆心坐标为 ( 3， 1)，又两平行线之间的距离为 1032 42 2，所以圆 M的半径为 1，所以圆 M 的方程为 (x 3)2 (y 1)2
10、 1，故选 C (2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0， 所以圆心到直线 2x y 0 的距离 d 2a5 4 55 ， 解得 a 2， 所以圆 C 的半径 r |CM| 4 5 3， 所以圆 C 的方程为 (x 2)2 y2 9. 与圆有关的最值问题 已知 M(x， y)为圆 C： x2 y2 4x 14y 45 0 上任意一点，且点 Q( 2,3) (1)求 |MQ|的最大值和最小值； (2)求 y 3x 2的最大值和最小值 解 (1)由圆 C： x2 y2 4x 14y 45 0， 可得 (x 2)2 (y 7)2 8， 圆心 C 的坐标为 (2,7)，
11、半径 r 2 2. 又 |QC| (2 2)2 (7 3)2 4 2， | MQ|max 4 2 2 2 6 2， |MQ|min 4 2 2 2 2 2. (2)可知 y 3x 2表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y 3 k(x 2)，即 kx y 2k 3 0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以 |2k 7 2k 3|1 k2 2 2， 可得 2 3 k2 3， y 3x 2的最大值为 2 3，最小值为 2 3. 1 (变化 结论 )在本例的条件下，求 y x 的最大值和最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 设 y x b，则 x y b 0. 当直线 y
12、x b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， |2 7 b|12 ( 1)2 2 2， b 9 或 b 1. 因此 y x 的最大值为 9，最小值为 1. 2 (变换条件 )若本例中条件 “ 点 Q( 2,3)” 改为 “ 点 Q 是直线 3x 4y 1 0 上的动点 ” ，其它条件不变，试求 |MQ|的最小值 解 圆心 C(2,7)到直线 3x 4y 1 0上动点 Q的最小值为点 C到直线 3x 4y 1 0 的距离， | QC|min d |23 74 1|32 42 7. 又圆 C 的半径 r 2 2， | MQ|的最小值为 7 2 2. 规律方法 与圆有关的最值问题的三种几何转化法
13、形如 y bx a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题 . 形如 t ax by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题 . 形如 m x a 2 y b 2 形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 . 跟踪训练 (1)(2018 陕西质检 (一 )圆： x2 y2 2x 2y 1 0 上的点到直线 x y 2的距离的最大值是 ( ) A 1 2 B 2 C 1 22 D 2 2 2 (2)(2017 广东七校联考 )圆 x2 y2 2x 6y 1 0 关于直线 ax by 3 0(a 0，b 0)对称，则 1a 3b的最小值是 ( ) A 2 3 B.203 C 4
14、 D.163 (1)A (2)D (1)由已知得圆的标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 1，则圆心坐标为(1,1)，半径为 1，所以圆心到直线的距离为 |1 1 2|2 2，所以圆上的点到直线的距离的最大值是 1 2，故选 A =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由圆 x2 y2 2x 6y 1 0 知其标准方程为 (x 1)2 (y 3)2 9， 圆 x2 y2 2x 6y 1 0 关于直线 ax by 3 0(a 0， b 0)对称， 该直线经过圆心 (1,3)，即 a 3b 3 0， a 3b 3(a 0， b 0)， 1a 3b 13(a 3b)? ?1a 3b 13?1 3a
15、b 3ba 9 13?10 2 3ab 3ba 163 ，当且仅当3ba 3ab ，即 a b 时取等号，故选 D. 与圆有关的轨迹问题 已知 A(2,0) 为圆 x2 y2 4 上一定点， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点 . 【导学号： 79140275】 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若 PBQ 90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)， 由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2x 2,2y) 因为 P 点在圆 x2 y2 4 上， 所以 (2x 2)2 (2y)2 4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为 (x 1)2 y2 1. (2)设 PQ 的中点为 N(x， y)， 在 Rt PBQ 中， |PN| |BN|， 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ON PQ， 所以 |OP|2 |ON|2 |PN|2 |ON|2 |BN|2，所以 x2 y2 (x 1)2 (y 1)2 4.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2 y2 x y 1 0. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解 . 定义法：根据圆的定义列方程求
