1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 双曲线 考纲传真 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 .2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质 (范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 ).3.理解数形结合思想 .4.了解双曲线的简单应用 (对应学生用书第 125 页 ) 基础知识填充 1双曲线的定义 (1)平面内到两定点 F1， F2的 距离之差的绝对值 等于常数 (大于零且小于 |F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点 F1， F2叫作 双曲线 ，两焦点之间的距离叫作 焦距 其中 a， c 为常数 且 a 0， c 0. (2)集合
2、P M|MF1| |MF2| 2a， |F1F2| 2c， 其中 a， c 为常数且 a0， c0. 当 2a|F1F2|时， M 点不存在 2双曲线的标准方程及简单几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1 (a 0， b 0) y2a2x2b2 1 (a 0， b 0) 图形 条件 2a 2c， c2 a2 b2， a 0， b 0， c 0 范围 x a 或 x a 且 y R y a 或 y a 且 x R 对称性 对称轴 坐标轴 、对称中心 原点 顶点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a) 焦点 F1( c,0)， F2(c,0) F1(0， c)，
3、 F2(0， c) 渐近线 y bax y abx =【 ;精品教育资源文库 】 = 实轴、 虚轴 线段 A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度 |A1A2| 2a； a 叫做双曲线的实半轴长 线段 B1B2叫作双 曲线的虚轴，它的长度 |B1B2| 2b； b 叫做双曲线的虚半轴长 焦距 |F1F2| 2c(c2 a2 b2) 离心率 e ca (1， ) ， e 越接近于 时，双曲线开口越大； e 越接近于 1 时，双曲线开口越小 3. 等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y x，离心率为 e 2. 知识拓展 1巧设双曲线方程 (1)与双曲线 x2a2y2b2 1
4、(a 0， b 0)有共同渐近线的方程可设为x2a2y2b2 ( 0) (2)等轴双曲线可设为 x2 y2 ( 0) (3)过已知两个点的双曲线方程可设为 x2my2n 1(mn 0) 2焦点三角形的面积 双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)上一点 P(x0， y0)与两焦点构成的焦点三角形 F1PF2中，若 F1PF2 ，则 S F1PF2 12|PF1| PF2|sin sin 1 cos b2. 3离心率与渐近线的斜率的关系 e2 1 b2a2，其中ba?或 ab 是渐近线的斜率 4过焦点垂直于实轴的弦长 过焦点垂直于实轴的半弦长为 b2a. 基本能力自测 1 (思考辨析 )
5、判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平面内到点 F1(0,4)， F2(0， 4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 ( ) (2)方程 x2my2n 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 ( ) (3)双曲线 x2m2y2n2 (m0， n0， 0) 的渐近线方程是x2m2y2n2 0，即xmyn 0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知双曲线 x2a2y23 1(a0)的离心率为 2，则 a ( ) A 2 B 62 C 52
6、 D 1 D 依题意， e ca a2 3a 2， a2 3 2a，则 a2 1， a 1. 3 (2017 福州质检 )若双曲线 E： x29y216 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线 E上，且 |PF1| 3，则 |PF2|等于 ( ) A 11 B 9 C 5 D 3 B 由题意知 a 3， b 4， c 5.由双曲线的定义 |PF1| |PF2| |3 |PF2| 2a 6， |PF2| 9. 4 (2017 全国卷 )已知 F 是双曲线 C： x2 y23 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1,3)，则 APF 的
7、面积为 ( ) A 13 B 12 C 23 D 32 D 因为 F 是双曲线 C： x2 y23 1 的右焦点，所以 F(2,0) 因为 PF x 轴，所以可设 P 的坐标为 (2， yP) 因为 P 是 C 上一点，所以 4 y2P3 1，解得 yP 3 ， 所以 P(2， 3) ， |PF| 3. 又因为 A(1,3)，所以点 A 到直线 PF 的距离为 1， 所以 S APF 12| PF|1 1231 32. 故选 D 5 (2016 北京高考改编 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线为 2x y 0，一个焦点为 ( 5， 0)，则双曲线的方程为 _. 【导
8、学号： 00090297】 =【 ;精品教育资源文库 】 = x2 y24 1 由于 2x y 0 是x2a2y2b2 1 的一条渐近线， ba 2，即 b 2a， 又 双曲线的一个焦点为 ( 5， 0)，则 c 5， 由 a2 b2 c2，得 a2 b2 5， 联立 得 a2 1， b2 4. 所求双曲线的方程为 x2 y24 1. (对应学生用书第 126 页 ) 双曲线的定义及应用 (1)(2018 长春模拟 )已知双曲线 x2 y224 1 的两个焦点为 F1， F2， P 为双曲线右支上一点若 |PF1| 43|PF2|，则 F1PF2的面积为 ( ) A 48 B 24 C 12
9、D 6 (2)已知圆 C1： (x 3)2 y2 1 和圆 C2： (x 3)2 y2 9，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 _. 【导学号： 00090298】 (1)B (2)x2 y28 1(x 1) (1)由双曲线的定义可得 |PF1| |PF2| 13|PF2| 2a 2， 解得 |PF2| 6，故 |PF1| 8，又 |F1F2| 10， 由勾股定理可知三角形 PF1F2为直角三角形，因此 S PF1F2 12|PF1| PF2| 24. (2)如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B，动圆 M 的半径为 r，根据两圆外
10、切的条件得 |MC1| 1 r |MC2| 3 r =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 |MC2| |MC1| 2 所以点 M 到两定点 C1、 C2的距离的差是常数且小于 |C1C2| 6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支 (点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小 )， 其中 a 1， c 3，则 b2 8. 故点 M 的轨迹方程为 x2 y28 1(x 1) 规律方法 1.应用双曲线的定义需注意的问题： 在双曲线的 定义中，要注意双曲线上的点 (动点 )具备的几何条件，即 “ 到两定点 (焦点 )的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离 ”
11、若定义中的 “ 绝对值 ” 去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用 2在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将 |PF1| |PF2| 2a 平方，建立与 |PF1| PF2|间的联系 变式训练 1 (1)已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1， F2，点 A 在 C 上若 |F1A| 2|F2A|，则 cos AF2F1 ( ) A 14 B 13 C 24 D 23 (2)已知 F1， F2为双曲线 x25y24 1 的左，右焦点， P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则 |AP| |AF2|的最小值为 ( ) A 37 4 B 37 4 C 37 2
12、 5 D 37 2 5 (1)A (2)C (1)由 e ca 2 得 c 2a， 如图 ， 由双曲线的定义得 |F1A| |F2A| 2A 又 |F1A| 2|F2A|，故 |F1A| 4a， |F2A| 2a， cos AF2F1 4a2 2a 2 4a 224 a2 a 14. (2)由题意知， |AP| |AF2| |AP| |AF1| 2a， 要求 |AP| |AF2|的最小值，只需求 |AP| |AF1|的最小值， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 A， P， F1三点共线时，取得最小值， |AP| |AF1| |PF1| 37， |AP| |AF2|的最小值为 |AP| |A
13、F1| 2a 37 2 5.故选 C 双曲线的标准方程 (1)(2017 天津高考 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点为 F，点 A 在双曲线的渐近线上， OAF 是边长为 2 的等边三角形 (O 为原点 )，则双曲线的方程为 ( ) A x24y212 1 Bx212y24 1 C x23 y2 1 D x2 y23 1 (2)(2016 天津高考 )已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x y 0 垂直，则双曲线的方程为 ( ) A x24 y2 1 B x2 y24 1 C 3x2203y25 1 D3x2
14、5 3y220 1 (1)D (2)A (1)根据题意画出草图如图所示 ? ?不妨设点 A在渐近线 y bax上 . 由 AOF 是边长为 2 的等边三角形得到 AOF 60 ， c |OF| 2. 又点 A 在双曲线的渐近线 y bax 上， ba tan 60 3. 又 a2 b2 4， a 1， b 3， 双曲线的方程为 x2 y23 1. 故选 D (2)由焦距为 2 5得 c 5.因为双曲线的一条渐近线与直线 2x y 0 垂直 ， 所以 ba 12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 c2 a2 b2，解得 a 2， b 1， 所以双曲线的方程为 x24 y2 1. 规律方法
15、1.确定双曲线的标准方程需要一个 “ 定位 ” 条件，两个 “ 定量 ” 条件 “ 定位 ” 是指确定焦点在哪条坐标轴上； “ 定量 ” 是指确定 a， b 的值，常用待定系数法若双曲线的焦点位置不能确定时，可设其方程为 Ax2 By2 1(AB0， b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是A1， A2，过 F 作 A1A2的垂线与双曲线交于 B， C 两点若 A1B A2C，则该双曲线的渐近线方程为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)A (2)x y 0 (1)如图，因为 MF1 x 轴，所以 |MF1| b2a. 在 Rt MF1F2中，由 sin MF2F1 13得 tan MF2F1 24 . 所以 |MF1|2c 24 ，即 b22ac24 ，即c2 a22ac 24 ， 整理得 c2 22 ac a2 0，两边同除以 a2得 e2 22 e 1 0. 解得 e 2(负值舍去 ) (2)由题设易知 A1( a,0)， A2(a,0)， B? ?c， b2a ， C?c， b2a . 因为 A1B A2C，所以b2ac a
