1、第七节正弦定理和余弦定理,总纲目录,教材研读,1.正弦定理和余弦定理,考点突破,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,3.三角形面积,考点二充分条件、必要条件的判断,考点一四种命题的相互关系及真假判断,考点三充要条件的应用,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时无解.,3.三角形面积设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S.(1)S=?ah(h为BC边上的高).(2)S=?absin C=?acsin B=?bcsin A.,1.在ABC中,a=3,b=5,si
2、n A=?,则sin B=()A.?B.?C.?D.1,B,答案B根据?=?,有?=?,得sin B=?.故选B.,2.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于?()A.2?B.12C.2?D.28,答案A由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2?.,A,3.在ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为?()A.aB.bC.cD.?b,答案Abcos C+ccos B=b?+c?=?+?=?=a.,A,4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=?,b=3,c=2,则A=?()A.?B.?C.?D.,答案C易知cos A=?=?
3、=?,又A(0,),A=?.故选C.,C,5.在非钝角ABC中,2bsin A=?a,则B=.,答案,解析由正弦定理得bsin A=asin B,所以2bsin A=2asin B=?a,即sin B=?,又B非钝角,所以B=?.,6.在ABC中,a=3?,b=2?,cos C=?,则ABC的面积为.,答案4,解析cos C=?,sin C=?.SABC=?absin C=?3?2?=4?.,典例1(1)(2017课标全国,11,5分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=?,则C=?()A.?B.?C.?D.?(2
4、)(2017课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=?,c=3,则A=.(3)(2017课标全国,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.,考点一利用正、余弦定理解三角形,考点突破,答案(1)B(2)75(3)60,解析(1)因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C(sin A+c
5、os A)=0,因为sin C0,所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,因为A(0,),所以A=?,由正弦定理得sin C=?=?=?,又0Cb,B=45,A=75.(3)解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2b?=a?+c?,即b?=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=?,又0B180,所以B=60.,方法技巧应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用公式a=?,b=?,c=?或其他相应变形公式求解.(2)
6、求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A=?,sin B=?,sin C=?或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化.如出现a2+b2-c2=ab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.,1-1(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=?,c=2,cos A=?,则b=?()A.?B.?C.2D.3,答案D由余弦定理,得4+b2-22bcos A=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-?(舍去),故选D.,D,1-2(2016课标全国,15,5分)A
7、BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=?,cos C=?,a=1,则b=.,答案,解析由cos C=?,0C,得sin C=?.由cos A=?,0A,得sin A=?.所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A=?,根据正弦定理得b=?=?.,典例2在ABC中,若a2+b2-c2=ab,且2cos Asin B=sin C,试判断ABC的形状.,考点二判断三角形的形状,解析解法一:利用边的关系来判断.由正弦定理得?=?,由2cos Asin B=sin C,有cos A=?=?.又由余弦定理得cos A=?,所以?=?
8、,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因为a2+b2-c2=ab.所以2b2-c2=b2,所以b2=c2,所以b=c,所以a=b=c.所以ABC为等边三角形.,解法二:利用角的关系来判断.因为A+B+C=180,所以sin C=sin(A+B),又因为2cos Asin B=sin C,所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin(A-B)=0.又因为A与B均为ABC的内角,所以A=B,因为a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cos C=?=?=?,又0C180,所以C=60,所以ABC为等边三角形.,易错警示判定三角形形状的两种常用
9、途径?提醒“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系.,2-1设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos A=bcos B,则ABC的形状为?()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形,答案D由条件及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B?sin 2A=sin 2B,又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=?.所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,D,典例3(2017课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的
10、对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2?.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.,考点三与三角形面积有关的问题,方法技巧(1)对于面积公式S=?absin C=?acsin B=?bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.,同类练在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=acos C.(1)求角A的大小;(2)若a=3,b=2c,求ABC的面积.,解析(1)由(2b-c)cos A=acos C,得2sin Bcos A=sin Acos
11、 C+sin Ccos A,得2sin Bcos A=sin(A+C),所以2sin Bcos A=sin B,因为0B,所以sin B0,所以cos A=?,因为0A,所以A=?.(2)因为a=3,b=2c,由(1)知A=?,所以cos A=?=?=?,解得c=?,变式练(2018河北石家庄质检)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=?,ABC的面积为?,求ABC的周长.,深化练在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c(asin B-bcos A)=a2-b2.(1)求B;(2)若b=3,求ABC面积的最大值.,
