1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 热点探究训练 (一 ) 导数应用中的高考热点问题 1 (2017 全国 卷 )已知函数 f(x) ln x ax2 (2a 1)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 a0， 故 f(x)在 (0， ) 上是增加的 若 a0； 当 x ? ? 12a， 时， f( x)0； 当 x (1， ) 时， g( x)0 时， g(x)0. 从而当 a0 时， ln? ? 12a 12a 10 ， 即 f(x) 34a 2. 2已知函数 f(x) ex(x2 ax a)，其中 a 是常数 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当 a 1 时，求曲线 y f(
2、x)在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)若存在实数 k，使得关于 x 的方程 f(x) k 在 0， ) 上有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围 解 (1)由 f(x) ex(x2 ax a)可得 f( x) exx2 (a 2)x. 2 分 当 a 1 时， f(1) e， f(1) 4e. 所以曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为： y e 4e(x 1)，即 y 4ex 3e. 5 分 (2)令 f( x) exx2 (a 2)x 0， 解得 x (a 2)或 x 0. 6 分 当 (a 2)0 ，即 a 2 时，在区间 0， ) 上， f( x)0 ， 所
3、以 f(x)是 0， ) 上的增函数， 所以方程 f(x) k 在 0， ) 上不可能有两个不相等的实数根 8 分 当 (a 2) 0，即 a 2 时， f( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表： x 0 (0， (a 2) (a 2) ( (a 2)， ) f( x) 0 0 f(x) a a 4ea 2 由上表可知函数 f(x)在 0， ) 上的最小值为 f( (a 2) a 4ea 2 . 因为函数 f(x)是 (0， (a 2)上的减函数， 是 ( (a 2)， ) 上的增函数，且当 x a 时， 有 f(x)e a( a) a，又 f(0) A 所以要使方程 f(x) k 在
4、0， ) 上有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是?a 4ea 2 ， a . 12 分 3 (2016 全国卷 )已知函数 f(x) (x 2)ex a(x 1)2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围 【导学号： 00090078】 解 (1)f( x) (x 1)ex 2a(x 1) (x 1)(ex 2a). 1 分 ( )设 a0 ，则当 x ( ， 1)时， f( x) 0； 当 x (1， ) 时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ( ， 1)上是减少的，在 (1， ) 上是增加的 . 3 分 =【 ;精品教育资源文库 】 =
5、 ( )设 a 0，由 f( x) 0 得 x 1 或 x ln( 2a) 若 a e2，则 f( x) (x 1)(ex e)， 所以 f(x)在 ( ， ) 上是增加的 若 a e2，则 ln( 2a) 1， 故当 x ( ， ln( 2a) (1， ) 时， f( x) 0； 当 x (ln( 2a)， 1)时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ( ， ln( 2a)， (1， ) 上是增加的，在 (ln( 2a)， 1)上是减少的 . 5 分 若 a e2，则 ln( 2a) 1， 故当 x ( ， 1) (ln( 2a)， ) 时 ， f( x) 0； 当 x (1， ln( 2
6、a)时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ( ， 1)， (ln( 2a)， ) 上是增加的， 在 (1， ln( 2a)上是减少的 . 7 分 (2)( )设 a 0，则由 (1)知， f(x)在 ( ， 1)上是减少的，在 (1， ) 上是增加的又f(1) e， f(2) a，取 b满足 b 0 且 b lna2，则 f(b) a2(b 2) a(b 1)2 a? ?b2 32b 0，所以 f(x)有两个零点 . 9 分 ( )设 a 0，则 f(x) (x 2)ex，所以 f(x)只有一个零点 ( )设 a 0，若 a e2，则由 (1)知， f(x)在 (1， ) 上是增加的又当
7、x1 时 f(x) 0，故 f(x)不存在两个零点；若 a e2，则由 (1)知， f(x)在 (1， ln( 2a)上是减少的，在 (ln( 2a)， ) 上是增加的又当 x1 时， f(x) 0，故 f(x)不存在两个零点 综上， a 的取值范围为 (0， ). 12 分 4 (2017 郑州二次质量预测 )已知函数 f(x) exx m. (1)讨论函数 y f(x)在 x (m， ) 上的单调性； (2)若 m ? ?0， 12 ，则当 x m， m 1时，函数 y f(x)的图像是否总在函数 g(x) x2 x 图像上方？请写出判断过程 解 (1)f( x) ex x m exx m
8、 2 ex x mx m 2 ， 2 分 当 x (m， m 1)时， f( x) 0；当 x (m 1， ) 时， f( x) 0， 所以函数 f(x)在 (m， m 1)上是减少的，在 (m 1， ) 上是增加的 . 4 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (1)知 f(x)在 (m， m 1)上是减少的， 所以其最小值为 f(m 1) em 1. 5 分 因为 m ? ?0， 12 ， g(x)在 x m， m 1最大值为 (m 1)2 m 1. 所以下面判断 f(m 1)与 (m 1)2 m 1 的大小，即判断 ex与 (1 x)x 的大小，其中 xm 1 ? ?1， 32
9、 . 令 m(x) ex (1 x)x， m( x) ex 2x 1， 令 h(x) m( x)，则 h( x) ex 2， 因为 x m 1 ? ?1， 32 ，所以 h( x) ex 2 0， m( x)单调递增 8 分 所以 m(1) e 3 0， m ? ?32 e32 4 0，故存在 x0 ?1， 32 ，使得 m( x0) ex0 2x0 1 0， 所以 m(x)在 (1， x0)上是减少的，在 ? ?x0，32 上是增加的 ， 所以 m(x) m(x0) ex0 x20 x0 2x0 1 x20 x0 x20 x0 1，所以当 x0 ? ?1， 32 时，m(x0) x20 x0 1 0， 即 ex (1 x)x，也即 f(m 1) (m 1)2 m 1， 所以函数 y f(x)的图像总在函数 g(x) x2 x 图像上方 12 分
