1、2.5.1直线与圆的位置关系 导学案 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.重点：判断直线与圆的位置关系难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 直线与圆的位置关系的判断方法直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的位置关系及判断点睛：几何法更为简洁和常用. 1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交一、 情境导学“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢
2、慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采. 这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离. 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。二、典例解析例1 已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆(1)有两个公共点;(2)只有一个公共点;(
3、3)没有公共点? 直线与圆的位置关系的判断方法直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数. 因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.例2 过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.变式探究 过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程. 切线方程的求法1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜
4、率为-1k,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法:如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有
5、(|AB|2)2+d2=r2,即|AB|=2r2-d2.图(2)代数法:如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|(直线l的斜率k存在).图跟踪训练1 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直.(1)求直线l的方程;(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2 2 ,求圆C的标准方程.例3如图，台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向（北偏东45）移动，离台风中心不超过300
6、千米的地区为危险区域.城市B在A地的正东400千米处.请建立恰当的平面直角坐标系，解决以下问题：(1)求台风移动路径所在的直线方程；(2)求城市B处于危险区域的时间是多少小时？1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是() A.0或2B.2C.2D.2或23.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为.4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.5如图所示,一座圆拱（圆的一部分）桥,当水面在图位置m时,拱顶
7、离水面2 m,水面宽 12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米? 参考答案：知识梳理1. 解析:圆心到直线的距离为d=532+42=10,即m0或m-43时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点;当=0,即m=0或m=-43时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点;当0,即-43m0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.(方法2)已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=|2m-1-m-1|1+m2=|m-2|1+m2.当d0或m2,即-43m1,所以点A在圆外.(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜
8、率为k,则切线方程为y+3=k(x-4).因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,所以|3k-1-3-4k|k2+1=1,即|k+4|=k2+1,所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-158.所以切线方程为y+3=-158(x-4),即15x+8y-36=0. (2)若直线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.变式探究 解:容易判断点Q(3,0)在圆外.设切线的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.又圆的圆心为(0,0),半径为2,所以|-3k|1+k2=
9、2,解得k=255,所以所求切线方程为y=255(x-3).例3 思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.解法一由3x+y-6=0,x2+y2-2y-4=0,得交点A(1,3),B(2,0),故弦AB的长为|AB|=(2-1)2+(0-3)2=10.解法二由3x+y-6=0,x2+y2-2y-4=0,消去y,得x2-3x+2=0.设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得x1+x2=3,x1x2=2.|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=10(x1+x2)2-4x1x2=
10、10(32-42)=10,即弦AB的长为10.解法三圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心坐标(0,1),半径r=5,点(0,1)到直线l的距离为d=|30+1-6|32+12=102,所以半弦长为|AB|2=r2-d2=(5)2-(102)2=102,所以弦长|AB|=10.跟踪训练1 解:(1)由已知得:2x-y-3=0,4x-3y-5=0,解得x=2,y=1,两直线交点为(2,1).设直线l的斜率为k1,l与x+y-2=0垂直,k1=1,l过点(2,1),l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;(2)设圆的半径为r,依题意,圆心(3,0)到直线x-y-1=
11、0的距离为|3-1|2=2,则由垂径定理得r2=(2)2+(2)2=4,r=2,圆的标准方程为(x-3)2+y2=4.例3【解析】（1）以B为原点，正东方向为x轴建立如图所示的平面直角坐标系则台风中心A的坐标是-400,0，台风移动路径所在直线斜率为：k=tan45=1台风移动路径所在的直线方程为：y=x+400 （2）以B为圆心，300千米为半径作圆圆和直线y=x+400相交于A1,A2两点则台风中心移到A1时，城市B开始受台风影响(危险区)，直到A2时，解除影响点B到直线y=x+400的距离：d=2002A1A2=23002-20022=200， 又20020=10（小时） B城市处于危险
12、区内的时间是10小时达标检测1. 解析:圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=|31+4(-1)+12|32+42=115r.答案:D 2.解析:直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,圆心O(0,0)到直线的距离|m|2=m,解得m=2(舍去0).故选B.3.解析:易知点M在圆上,所以M为切点,切点和圆心连线斜率k=12,则切线斜率为-2,切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.答案:2x+y-5=0 4.解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0-(-1)+1|2=2,所以弦长|AB|=2r2-d2=24-2=22.答案:225【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标为(6,-2)代入方程,解得r=10.圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1米后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x03),将A的坐标(x0,-3)代入方程,求得.水面下降1米后,水面宽为
