1、2.4.2圆的一般方程1.理解圆的一般方程及其特点.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题重点： 掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题 一、圆的一般方程（1）当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-D2,-E2)为圆心,12D2+E2-4F为半径的圆,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4（2）当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点(-D2,-E2)（3）当D2+E2-4F0);(3)圆心在x
2、轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E0).二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).点M在圆外x02+y02+Dx0+Ey0+F0;点M在圆上x02+y02+Dx0+Ey0+F=0;点M在圆内x02+y02+Dx0+Ey0+F0.()一、 情境导学 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得：x2+y2-
3、2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式. 请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.例如,对于方程x2+y2-2x-4y+6=0,对其进行配方，得(x-1)2+(y-2)2=-1,因为任意一点的坐标 (x,y)都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.二、典例解析例1 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=
4、0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4,根据圆的标准方程来判断.跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.例2 圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得
5、的弦长为6,求圆C的方程. 圆的方程的求法 求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.跟踪训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是 .例3 已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.变式： 求本例中线段AC中点M的轨迹方程. 求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程
6、;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.跟踪训练3 两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.跟踪训练4 已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.跟踪训练5 已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为2 的线段AB在直线l移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为() A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆 C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形2.若圆x2+y2-2
7、kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于() A.32B.-32C.3D.-33.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是 .4.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程. 参考答案：知识梳理三、小试牛刀1.答案:(3,0)2. 答案:43.答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF0.4.答案:(1)(2)(3) 学习过程例1思路分析:可直接利用D2+E2-4F0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+2
8、0m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=12D2+E2-4F=5|m-2|.(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=5|m-2|.跟踪训练1解:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)0,即4m2+4-4m2-20m0,解得m0),把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组22+22+2D+2E+F=0,52+32+5D+3E+F=0,32+(-1)2+3D-E+F=0,解得D=-8,E=-2,F=12.所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
