1、3.2.1双曲线及其标准方程 导学案 1.掌握双曲线的标准方程及其求法.2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.重点：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 难点：双曲线的标准方程及其求法.1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程 焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程 (a0,b0) (a0,b0)焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=c2-a2双曲线与椭圆的比较 椭圆双曲线定义|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|)|MF1|-|MF2|=2a(02a|F1F2|)a,
2、b,c的关系b2=a2-c2b2=c2-a2焦点在x轴上焦点在y轴上1.在双曲线的定义中,若去掉条件02aa0 ，以F1,F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时；双曲线的标准方程是什么？二、典例解析例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点在x轴上,a=25,经过点A(-5,2);(2)经过两点A(-7,-62),B(27,3). 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两
3、定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn0,b0),F1,F2为其两个焦点,若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长|AB|=m,则ABF2的周长为()A.4aB.4a-m C.4a+2m D.4a-2m3.已知方程x21+m+y2m-2=1表示双曲线,则m的取值范围是()A.(-1,+)B.(2,+) C.(-,-1)(2,+) D.(-1,2)4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示PEF,已知tanPEF=12,tanPFE=-2,试建立适当直角坐标系,求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别
4、是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;(3)a=b,经过点(3,-1).(2)以椭圆x28+y25=1长轴的端点为焦点,且经过点(3,10);参考答案：知识梳理1.提示:当2a等于|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).当2a大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.当2a等于零时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.2.判断答案:(1)(2)(3)3.解析:ba=2,b2=2a2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2a2-y22a2=1,将点(1,1)代入方程中,得a2=12.此时双曲线的标准方程为x212-y2=1.同
5、理求得焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为y212-x2=1.答案:D 学习过程一、情景导学以F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2 （c,0）设Px,y是双曲线上一点，则PF1-PF2=2a,因为PF1=(x+c)2+y2, PF2=(x-c)2+y2,所以(x+c)2+y2-x-c2+y2=2a 由得(x+c)2+y2-(x-c)2+y2(x+c)2+y2+(x-c)2+y2 =2a 整理得(x+c)2+y2-x-c2+y2=2cax.且与右边同时取正号或负号，+ 整理得(x+c)2+y2 =(a+ca
6、x) 将式平方再整理得c2-a2a2x2-y2= c2-a2 因为ca0 ，所以c2-a20设c2-a2=b2且b0,则可化为x2a2-y2b2=1 (a0，b0) 例1分析(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),代入点的坐标,解方程即可得到.(2)可设双曲线方程为mx2-ny2=1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到.解:(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则a=25,25a2-4b2=1,解得b2=16,则双曲线的标准方程为x220-y216=1.(2)设双曲线方程为mx2-ny2=1,则有49m-72n=1,28m-9n=1,解得m=125
7、,n=175,则双曲线的标准方程为x225-y275=1.跟踪训练1 解:(1)因为焦点在x轴上,可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),将点(4,-2)和(26,22)代入方程得16a2-4b2=1,24a2-8b2=1,解得a2=8,b2=4,所以双曲线的标准方程为x28-y24=1.(2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB0.因为点P,Q在双曲线上,则9A+22516B=1,2569A+25B=1,解得A=-116,B=19.故双曲线的标准方程为y29-x216=1.例2.跟踪训练2. 解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA
8、|=42),BC的垂直平分线方程为x-3y+7=0.联立两方程解得x=8(舍负),y=53,所以P(8,53),kPA=tanPAx=3,所以PAx=60,所以P点在A点的北偏东30方向.达标检测1. 解析:当a=3时,根据双曲线的定义及|PF1|PF2|可推断出其轨迹是双曲线的一支.当a=5时,方程y2=0,可知其轨迹与x轴重合,舍去在x轴负半轴上的一段,又因为|PF1|-|PF2|=2a,说明|PF1|PF2|,所以应该是起点为(5,0),与x轴重合向x轴正方向延伸的射线.答案:D2.解析:不妨设|AF2|AF1|,由双曲线的定义,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2
9、a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是ABF2的周长l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故选C.答案:C3.解析:方程x21+m+y2m-2=1,(m-2)(m+1)0,解得-1m0,b0),则有a2+b2=c2=8,9a2-10b2=1,解得a2=3,b2=5.故所求双曲线的标准方程为x23-y25=1.(3)当焦点在x轴上时,可设双曲线方程为x2-y2=a2,将点(3,-1)代入,得32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求的双曲线的标准方程为x28-y28=1.当焦点在y轴上时,可设双曲线方程为y2-x2=a2,将点(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦点不可能在y轴上.综上,所求双曲线的标准方程为x28-y28=1.
