1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 三角函数的图像与性质 考纲传真 1.能画出 y sin x， y cos x， y tan x 的图像，了解三角函数的周期性 .2.理解正弦函数、余弦函数在 0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等 )，理解正切函数在区间 ? ? 2 ， 2 内的单调性 (对应学生用书第 42 页 ) 基础知识填充 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数 y sin x， x 0,2 图像的五个关键点是： (0,0)， ? ? 2 ， 1 ， ( ， 0)，?32 ， 1 ， (2 ， 0) 余弦函数 y cos x， x 0,2
2、图像的五个关键点是： (0,1)， ? ? 2 ， 0 ， ( ， 1)，?32 ， 0 ， (2 ， 1) 2正弦函 数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y sin x y cos x y tan x 图像 定义域 R R 错误 ! 值域 1,1 1,1 R 单调性 在 2k 2 ， 2k 2(k Z)上是增加的； 在 2k 2 ， 2k 32(k Z)上是减少的 在 2k ， 2k( k Z)上是增加的； 在 2k ， 2k ( k Z)上是减少的 在 k 2 ， k 2(k Z)上是增加的 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心 (k ， 0)， k Z 对称中心 ?k
3、2 ， 0 ， k Z 对称中心 ?k2 ， 0 ， k Z 对称轴 对称轴 x k( k Z) =【 ;精品教育资源文库 】 = x k 2 ， (k Z) 周期性 2 2 知识拓展 1对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 14个周期 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2奇偶性 若 f(x) Asin(x )(A， 0) ，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 2 k( k Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( k Z) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确
4、的打 “” ，错误的打 “”) (1)正切函数 y tan x 在定义域内是增函数 ( ) (2)y sin |x|是偶函数 ( ) (3)函数 y sin x 的图像关于点 (k ， 0)(k Z)中心对称 ( ) (4)已知 y ksin x 1， x R，则 y 的最大值为 k 1( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (2018 昆明模拟 )函数 f(x) cos? ?2x 52 的图像关于 ( ) A原点对称 B y 轴对称 C直线 x 52 对称 D直线 x 52 对称 A 函数 f(x) cos? ?2x 52 sin 2x 是奇函数，则图像关于原点对称，故选 A 3函
5、数 y tan 2x 的定义域是 ( ) A?x? x k 4 ， k Z B?x? x k2 8 ， k Z C?x? x k 8 ， k Z D?x? x k2 4 ， k Z D 由 2x k 2 ， k Z，得 x k2 4 ， k Z， =【 ;精品教育资源文库 】 = y tan 2x 的定义域为?x? x k2 4 ， k Z . 4 (2018 长沙模拟 )函数 y sin? ?12x 3 ， x 2 ， 2 的单调递增区间是 ( ) A ? ? 2 ， 53 B ? ? 2 ， 53 和 ? ? 3 ， 2 C ? ? 53 ， 3 D ? ? 3 ， 2 C 令 z 12x
6、 3 ，函数 y sin z 的单调递增区间为 ? ?2k 2 ， 2k 2 (k Z)，由2k 2 12x 3 2 k 2 得 4k 53 x4 k 3 ，而 x 2 ， 2 ，故其单调递增区间是 ? ? 53 ， 3 ，故选 C 5 (教材改编 )函数 f(x) 4 2cos 13x 的最小值是 _，取得最小值时， x 的取值集合为 _ 【导学号： 00090091】 2 x|x 6k ， k Z f(x)min 4 2 2，此时， 13x 2k( k Z)， x 6k( k Z)，所以 x 的取值集合为 x|x 6k ， k Z (对应学生用书第 43 页 ) 三角函数的定义域与值域 (
7、1)(2016 全国卷 )函数 f(x) cos 2x 6cos 2 x 的最大值为 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 (2)函数 y lg(sin 2x) 9 x2的定义域为 _ (1)B (2)? ? 3， 2 ? ?0， 2 (1) f(x) cos 2x 6cos 2 x cos 2x 6sin x 1 2sin2x 6sin x 2? ?sin x 32 2 112 ， 又 sin x 1,1， 当 sin x 1 时， f(x)取得最大值 5.故选 B (2)由? sin 2x 0，9 x20 ， 得 ? k x k 2 ， k Z， 3 x3 ，=【 ;精品教育资源文库 】
8、 = 3 x 2 或 0 x 2 ， 函数 y lg(sin 2x) 9 x2的定义域为 ? ? 3， 2 ? ?0， 2 . 规律方法 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等 式 (组 )，常借助三角函数线或三角函数图像来求解 2求三角函数最值或值域的常用方法 (1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解 (2)化一法：把所给三角函数化为 y Asin(x ) k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域 (3)换元法：把 sin x， cos x， sin xcos x 或 sin xcos x 换成 t，转化为二次函数求解 变式训练 1 (1
9、)已知函数 y 2cos x 的定义域为 ? ? 3 ， ， 值域为 a， b，则 b a 的值是 ( ) A 2 B 3 C 3 2 D 2 3 (2)求函数 y cos2x sin x? ?|x| 4 的最大值与最小值 (1)B x ? ? 3 ， ， cos x ? ? 1， 12 ， y 2cos x 的值域为 2,1， b a 3. (2)令 t sin x， |x| 4 ， t ? ? 22 ， 22 ， 3 分 y t2 t 1 ? ?t 12 2 54， 当 t 12时， ymax 54，当 t 22 时， ymin 1 22 ， 7 分 函数 y cos2x sin x? ?
10、|x| 4 的最大值为 54，最小值为 1 22 . 12 分 三角函数的单调性 (1)(2018 洛阳模拟 )已知 0，函数 f(x) sin? ?x 4 在 ? ? 2 ， 上单调递减，则 的取值范围是 ( ) 【导学号： 00090092】 A ? ?12， 54 B ? ?12， 34 =【 ;精品教育资源文库 】 = C ? ?0， 12 D (0,2 (2)函数 f(x) sin? ? 2x 3 的单调减区间为 _ (1)A (2)? ?k 12， k 512 (k Z) (1)由 2 x 得 2 4 x 4 4 ，由题意知 2 4 ， 4 ? ? ? 2 ， 32 ， 所 以?
11、2 4 2 ， 4 32 ， 解得 12 54. (2)由已知函数为 y sin? ?2x 3 ，欲求函数的单调减区间，只需求 y sin? ?2x 3 的单调增区间即可 由 2k 2 2 x 3 2 k 2 ， k Z， 得 k 12 x k 512 ， k Z. 故所求函数的单调减区间为 ? ?k 12， k 512 (k Z) 规律方法 1.求三角函数单调区间的两种方法 (1)求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意 复合函数单调性规律 “ 同增异减 ” (2)求形如 y Asin(x )( 0)的单调区间时，要视 “ x ” 为一个整体，通过解不等式求解若 0，应先用诱导
12、公式化 x 的系数为正数，以防止把单调性弄错 2已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 变式训练 2 (1)函数 f(x) tan? ?2x 3 的单调递增区间是 _ (2)若函数 f(x) sin x ( 0)在区间 ? ?0， 3 上是增加的，在区间 ? ? 3 ， 2 上是减少的，则 _. (1)? ?k2 12， k2 512 (k Z) (2)32 (1)由 2 k 2x 3 2 k( k Z)，得k2 12 xk2 512(k Z) (2) f(x) sin x ( 0)过原点， 当 0 x 2 ，即 0 x 2 时， y sin x 是增函数；
13、 =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 2 x 32 ，即 2 x 32 时， y sin x 是减函数 由 f(x) sin x( 0)在 ? ?0， 3 上是增加的， 在 ? ? 3 ， 2 上是减少的知， 2 3 ， 32. 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 角度 1 奇偶性与周期性的判断 (1)(2018 大连模拟 )在函数： y cos|2x|， y |cos x|， y cos2x 6 ， y tan? ?2x 4 中，最小正周期为 的所有函数为 ( ) 【导学号： 00090093】 A B C D (2)函数 y 1 2sin2? ?x 34 是 ( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 2 的奇函数 D最小正周期为 2 的偶函数 (1)C (2)A (1) y cos|2x| cos 2x， T . 由图像知，函数的周期 T . T . T 2. 综上可知，最小正周期为 的所有函数为 . (2)y 1 2sin2? ?x 34 cos 2? ?x 34 sin 2x，所以 f(x)是最小正周期为 的奇函数 角度 2 求三角函数 的对称轴、对称中心 已知函数 f(x) sin(x )? ? 0， | | 2 的最小正周期为 4 ，且对任意 x R，都有 f(x) f? ?
