1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 空间向量及其运算 考纲传真 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 .2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 .3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 (对应学生用书第 120 页 ) 基础知识填充 1空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有 大小 和 方向 的量 自由向量 数学中所讨论的向量与向量的起点无关，我们称之为自由向量 方向向量 A、 B 是空间直线 l 上任意两点，则称 AB 为直线 l 的方向向量 法向量 如果直线 l 垂直于平面 ，
2、那么把直线 l 的方向向量 n 叫作平面 的法向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：空间两个向量 a， b(b0) ，共线的充要条件是存在实数 ，使得 a b. (2)空间向量基本定理：如果向量 e1， e2， e3是空间三个不共面的向量 a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数 1， 2， 3，使得 a 1e1 2e2 3e3，其中e1， e2， e3叫作这个空间的一个基底 3两个向量的数量积及运算律 (1)非零向量 a， b 的数量积 a b |a|b|cos a， b (2)空间向量数量积的运算律： 交换律： a b b a； 分配律： a( b c) a b a c； (
3、a) b (a b) 4空间向量的坐标表示及其应用 设 a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3) 向量表示 坐标表示 数量积 a b a1b1 a2b2 a3b3 共线 a b(b 0， R) a1 b 1， a2 b 2， a3 b 3 垂直 a b 0(a 0， b 0) a1b1 a2b2 a3b3 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 模 |a| a21 a22 a23 夹角 cos a， b (a 0， b 0) a1b1 a2b2 a3b3a21 a22 a23 b21 b22 b23基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的
4、打 “”) (1)空间中任意两非零向量 a， b 共面 ( ) (2)对任意两个空间向量 a， b，若 a b 0， 则 a b.( ) (3)若 a b 0，则 a， b是钝角 ( ) (4)若 A， B， C， D 是空间任意四点，则有 AB BC CD DA 0.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )如图 761 所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若AB a， AD b， AA1 c，则下列向量中与 BM 相等的向量是 ( ) 图 761 A 12a 12b c B 12a 12b c C 12a 12b c D
5、 12a 12b c A BM BB1 B1M AA1 12(AD AB ) c 12(b a) 12a 12b c. 3若向量 c 垂直于不共线的向量 a 和 b， d a b( 、 R，且 0) ，则 ( ) A c d B c d C c 不平行于 d， c 也不垂直于 d D以上三种 情况均有可能 B 由题意得， c 垂直于由 a， b 确定的平面 d a b， d 与 a， b 共面 c d. 4已知 a (2,3,1)， b ( 4,2， x)，且 a b，则 |b| _. 2 6 a b， a b 2( 4) 32 1 x 0， x 2， | b| ( 4)2 22 22 2 6
6、. 5已知向量 a (4， 2， 4)， b (6， 3,2)，则 (a b)( a b)的值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 13 (a b)( a b) a2 b2 42 ( 2)2 ( 4)2 62 ( 3)2 2213. (对应学生用书第 121 页 ) 空间向量的线性运算 如图 762 所示，在空间几何体 ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设 AA1 a， AB b， AD c， M， N， P 分别是 AA1， BC， C1D1的中点，试用 a， b， c 表示以下各向量： 图 762 (1)AP ； (2)MP NC1 . 解 (1)因为 P 是 C1D1的中
7、点， 所以 AP AA1 A1D1 D1P a AD 12D1C1 a c 12AB a c 12b. (2)因为 M 是 AA1的中点， 所以 MP MA AP 12A1A AP 12a ? ?a c 12b 12a 12b c. 因为 N 是 BC 的中点， 则 NC1 NC CC1 12BC AA1 12AD AA1 12c a， 所以 MP NC1 ? ?12a 12b c ? ?a 12c =【 ;精品教育资源文库 】 = 32a 12b 32c. 规律方法 用基向量表示指定向量的方法 结合已知向量和所求向量观察图形 . 将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 . 利用三角形
8、法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示 出来 . 跟踪训练 如图 763 所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N 分别为 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG 2GN ，若 OG xOA yOB zOC ，则 x y z _. 图 763 56 连接 ON，设 OA a， OB b， OC c， 则 MN ON OM 12(OB OC ) 12OA 12b 12c 12a， OG OM MG 12OA 23MN 12a 23? ?12b 12c 12a 16a 13b 13c. 又 OG xOA yOB zOC ，所以 x 16， y 1
9、3， z 13， 因此 x y z 16 13 13 56. 共线、共面向量定理的应用 (1)(2017 佛山模拟 )已知 a ( 1,0,2)， b (6,2 1,2 )，若 a b，且 a与 b 反向，则 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【导学号： 79140244】 (2)已知 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC， CD， DA 的中点，用向量方法求证： E， F， G， H 四点共面； BD 平面 EFGH. (1) 52 a b，且 a 与 b 反向， (6,2 1,2 ) k( 1,0,2)， k0. ? 6 k( 1)，2 1 0，2 2
10、k，解得? 2， 12 或 ? 3， 12， 当 2， 12时， k 2 不合题意，舍去 当 3， 12时， a 与 b 反向 因此 3 12 52. (2)证明 连接 BG，则 EG EB BG EB 12(BC BD ) EB BF EH EF EH ，由共面向量定理知E， F， G， H 四点共面 因为 EH AH AE 12AD 12AB 12(AD AB ) 12BD ，因为 E， H， D， B 四点不共线，所以EH BD. 又 EH 平面 EFGH， BD?/ 平面 EFGH. 所以 BD 平面 EFGH. 规律方法 1.证明点共线的方法 ,证明点共线问题可转化为证明向量共线问题
11、，如证明 A，B， C 三点共线，即证明 AB ， AC 共线，亦即证明 AB AC 2.证明点共面的方法 ,证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P， A， B， C四点共面，证明 PA xPB yPC ，或对空间任一点 O，有 OA OB xPB yPC ，或 OP xOA yOB zOC x y z 即可 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 已知 A， B， C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足 OM 13(OA OB OC ) (1)判断 MA ， MB ， MC 三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平 面 ABC 内 解 (1
12、)由已知 OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB ) (OM OC ) 即 MA BM CM MB MC ， MA ， MB ， MC 共面 (2)由 (1)知 MA ， MB ， MC 共面且过同一点 M. 四点 M， A， B， C 共面，从而点 M 在平面 ABC 内 空间向量数量积的应用 如图 764 所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M， N 分别是 AB， CD 的中点 图 764 (1)求证： MN AB， MN CD； (2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值 解 (1)证明：设 AB p， AC q， AD r. 由题意
13、可知， |p| |q| |r| a，且 p， q， r 三 个向量两两夹角均为 60. MN AN AM 12(AC AD ) 12AB 12(q r p)， MN AB 12(q r p) p 12(q p r p p2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 12(a2cos 60 a2cos 60 a2) 0. MN AB ，即 MN AB. 同理可证 MN CD. (2)设向量 AN 与 MC 的夹角为 . AN 12(AC AD ) 12(q r)， MC AC AM q 12p， AN MC 12(q r) ? ?q 12p 12? ?q2 12q p r q 12r p 12? ?a
14、2 12a2cos 60 a2cos 60 12a2cos 60 12? ?a2 a24a22a24 a22. 又 | AN | |MC | 32 a， AN MC |AN |MC |cos 32 a 32 acos a22. cos 23. 向量 AN 与 MC 的夹角的余弦值为 23，从而异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值为 23. 规律方法 1.空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法： ab |a|b|cos a， b (2)坐标法：设 a (x1， y1， z1)， b (x2， y2， z2)，则 ab x1x2 y1y2 z1z2. 2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题 (1)a b?ab 0. (2)|a| a2. (3)cos
