1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 二 三角函数与解三角形中的高考热点问题 (对应学生用书第 67 页 ) 命题解读 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第 1 题 (全国卷 T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用 三角函数的图像与性质 要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化
2、为 y Asin(x )的形式，然后利用整体代换的方法求解 (2017 浙江高考 )已知函数 f(x) sin2x cos2x 2 3sin xcos x(x R) (1)求 f? ?23 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解 (1)由 sin23 32 ， cos23 12， 得 f? ?23 ? ?322 ? ? 122 2 3 32 ? ? 12 ， 所以 f? ?23 2. (2)由 cos 2x cos2x sin2x 与 sin 2x 2sin xcos x 得 f(x) cos 2x 3sin 2x 2sin? ?2x 6 ， 所以 f(x)的最小正周期是 .
3、 由正弦函数的性质得 2 2k2 x 6 32 2k ， k Z， 解得 6 k x 23 k ， k Z， 所以 f(x)的单调递增区间是 ? ? 6 k ， 23 k (k Z) 规律方法 求函数的单调区间，应先通过三角恒等变换把函数化为 y A x 的形式，再把 “ x ” 视为一个整体，结合函数 y sin x 的单调性找到 “ x ” 对=【 ;精品教育资源文库 】 = 应的条件，通过解不等式可得单调区间 . 跟踪训练 (2018 北京海淀区期末练习 )已知函数 f(x) sin 2xcos 5 cos 2xsin 5. (1)求函数 f(x)的最小正周期和对称轴方程； (2)求函数
4、 f(x)在 ? ?0， 2 上的最大值 . 【导学号： 79140141】 解 (1)f(x) sin 2xcos 5 cos 2xsin 5 sin? ?2x 5 ， 所以 f(x)的最小正周期 T 22 ， 因为 y sin x 的对称轴方程为 x k 2 ， k Z， 令 2x 5 2 k ， k Z， 得 x 720 12k ， k Z， f(x)的对称轴方程为 x 720 12k ， k Z. (2)因为 x ? ?0， 2 ，所以 2x0 ， ， 所以 2x 5 ? ? 5 ， 45 ， 所以当 2x 5 2 ，即 x 720 时， f(x)在 ? ?0， 2 上的最大值为 1.
5、 解三角形 (答题模板 ) 从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值 (本小题满分 12 分 )(2017 全国卷 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 a23sin A. (1)求 sin Bsin C； (2)若 6cos Bcos C 1， a 3，求 ABC 的周长 规范解答 (1)由题设得 12acsin B a23sin A，即12csin Ba3sin A. 2 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由正弦定理得 12sin
6、Csin B sin A3sin A. 故 sin Bsin C 23. 5 分 (2)由题设及 (1)得 cos Bcos C sin Bsin C 12， 即 cos(B C) 12. 所以 B C 23 ， 故 A 3. 7 分 由题设得 12bcsin A a23sin A， a 3， 所以 bc 8.9 分 由余弦定理得 b2 c2 bc 9， 即 (b c)2 3bc 9.由 bc 8， 得 b c 33. 11 分 故 ABC 的周长为 3 33. 12 分 阅卷者说 易错点 防范措施 三角形面积公式的选取，若选用 S ABC 12bcsin A，就不能达到消元的目的，致使解题受
7、阻 . 认真分析已知与所求的差异，必须消去 a2与sin A 才能求出 sin B sin C 的值因此选用公式 S ABC 12acsin B 或 S ABC 12absin C 规律方法 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理 、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行 “ 角化边 ” 或 “ 边化角 ” ，要抓住能用某个定理的信息 .一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到 . 跟踪训练 (2018 福州质检 )已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为
8、a， b， c，且 ctan C 3(acos B bcos A) (1)求角 C； (2)若 c 2 3，求 ABC 面积的最大值 . 【导学号： 79140142】 解 (1) ctan C 3(acos B bcos A)， sin Ctan C 3(sin Acos B sin Bcos A)， =【 ;精品教育资源文库 】 = sin Ctan C 3sin(A B) 3sin C， 0 C ， sin C0 ， tan C 3， C 60. (2) c 2 3， C 60 ， 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcos C， 得 12 a2 b2 ab2 ab ab， ab12 ，
9、当且仅当 a b 2 3时，等号成立 S ABC 12absin C3 3. ABC 面积的最大值为 3 3. 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化 (2018 石家庄一模 )在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c， 且 sin Csin A sin B a ba c. (1)求角 B 的大小； (2)点 D 满足 BD 2BC ，且线段 AD 3，求 2a c 的最大值 解 (1) sin
10、Csin A sin B a ba c， 由正弦定理可得 ca b a ba c， c(a c) (a b)(a b)， 即 a2 c2 b2 ac. 又 a2 c2 b2 2accos B， cos B 12. B(0 ， ) ， B 3. (2)法一：在 ABD 中，由余弦定理知， =【 ;精品教育资源文库 】 = c2 (2a)2 22 a ccos 3 32， (2 a c)2 9 32 a c. 2 a c ? ?2a c22， (2 a c)2 9 34(2a c)2， (2a c)236 ， 即当且仅 当 2a c 时，等号成立，即 a 32， c 3 时， 2a c 的最大值为
11、 6. 法二：由正弦定理知 2asin BAD csin ADB 3sin 3 2 3， 2 a 2 3sin BAD， c 2 3sin ADB， 2 a c 2 3sin BAD 2 3sin ADB 2 3(sin BAD sin ADB) 2 3? ?sin BAD sin? ?23 BAD 2 3? ?32sin BAD 32 cos BAD 6? ?32 sin BAD 12cos BAD 6sin? ? BAD 6 . BAD ? ?0， 23 ， BAD 6 ? ? 6 ， 56 ， 即当且仅当 BAD 6 2 ，即 BAD 3 时， 2a c 的最大值为 6. 规律方法 1.
12、以三角形为载体，实质考查三角形中的 边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理 . 2.解三角形常与三角变换交汇在一起 以解三角形的某一结论作为条件 ，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化 . 跟踪训练 (2018 济南一模 )已知函数 f(x) 2 3sin xcos x cos( 2x) (1)求 f(x)的单调增区间； (2)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 f(C) 1， c 3， a b 2 3，求 ABC 的面积 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)f(x) 3sin 2x cos 2x 2sin? ?2x 6 ， 令 2 2k2 x 6 2 2k ， k Z， 解得 3 k x 6 k ， k Z， f(x)的单调递增区间为 ? ? 3 k ， 6 k (k Z) (2) f(C) 2sin? ?2C 6 1， 2 C 6 6 2k ， k Z 或 2C 6 56 2k ， k Z. C(0 ， ) ， C 3. c2 a2 b2 2abcos 3 ，即 a2 b2 ab 3， 又 a b 2 3，解得 ab 3， S ABC 12absin C 3 34 .
