1、单元卷三一元函数的导数及其应用(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2022山东潍坊期末函数f(x)ex的图象在点(0，f(0)处的切线方程是()A.yx B.yx1C.yx1 D.y2x2.2021四川攀枝花一模已知函数f(x)x3f(1)x22，则f(2)()A.2 B. C.6 D.143.2021成都期末若函数f(x)x33x2a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为()A.(，0)(4，) B.(，8)(0，)C.0，4 D.(8，0)4.2022东北师大附中期末
2、若函数ycos xax在上是增函数，则实数a的取值范围是()A.(，1 B.(，1C.1，) D.1，)5.2021山东青岛模拟已知aln，bln，cln，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acbC.cba D.cab6.2021山西晋中三模函数f(x)ln xx2ax(x0)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.7.2021辽宁大连模拟如果对定义在R上的偶函数f(x)满足对于任意两个不相等的正实数x1，x2，都有0，则称函数yf(x)为“F函数”，下列函数为“F函数”的是()A.f(x)e|x| B.f(x)ln|x|C.f(x)x2 D.f(x)x|
3、x|8.2022山西太原模拟已知函数f(x)xln x2，g(x)x2bx4，x是函数g(x)的极值点，若对任意的x1e1，1，总存在唯一的x2(，3)，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是()A.(，0) B.4，)C. D.(，1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.2021河北邯郸期末下列导数运算正确的有()A. B.(xex)(x1)exC.(e2x)2e2x D.(ln 2x)10.2021陕西榆林二模若函数f(x)x2ln x的图象在点(a，f(a)处的
4、切线与直线2x6y50垂直，则a的值可能为()A.1 B. C.2 D.11.2021江苏淮安五校联考若直线yxb是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是()A.f(x) B.f(x)x4C.f(x)sin x D.f(x)ex12.2021辽宁凌源抽测已知函数f(x)x2sin x，则下列说法正确的是()A.f(x)有且只有一个极值点B.设g(x)f(x)f(x)，则g(x)与f(x)的单调性相同C.f(x)有且只有两个零点D.f(x)在上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2022广东广州模拟已知函数f(x)x3x的值域为，则f(x)的定义域可以是_(写
5、出一个符合条件的即可).14.2021四川宜宾模拟若x1是函数f(x)(x2ax5)ex的极值点，则f(x)在2，2上的最小值为_.15.2022江苏盐城模拟从点P1(0，0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0，1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，现从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1，P2，Q2，Pn，Qn，nN*，则|PkQk|_.16.2021安徽合肥模拟已知函数f(x)xcos x(xR)，是钝角三角形的两个锐角，则f(cos )_f(sin )(填写“”“”或“”).四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
6、步骤.17.(10分)2021大同月考已知函数f(x)x34x4.(1)求函数f(x)的极值；(2)求函数f(x)在区间0，4上的最大值和最小值.18.(12分)2021重庆一模设函数f(x)x2axln x(aR).(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围.19.(12分)2021宁夏银川一模已知函数f(x)x(ln xm1)，mR.(1)若m2，求曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程；(2)若对于任意xe，e2，都有f(x)4ln x成立，求实数m的取值范围.20.(12分)2022山东济宁期末某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址
7、位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2b36b.已知点B到OO的距离为40米.(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价k(万元)(k0).问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？21.(12分)2021安徽十校联考已知函数f
8、(x)xaln x，g(x)xbex，且存在x1，x2(x1x2)，使得f(x1)g(x2)0.(1)若be1，求实数a的取值范围；(2)若be1，求证：f(x2)g(x1)0.22.(12分)2021湖北八校联考已知函数f(x)x2aln x(aR).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若x1，x2为函数f(x)的两个极值点，证明24a.单元卷三一元函数的导数及其应用(基础巩固卷)1.C由f(x)ex，得f(x)ex，则f(0)e01，又f(0)1，函数f(x)ex的图象在点(0，f(0)处的切线方程是yx1，故选C.2.Cf(x)3x22f(1)x，则f(1)32f(1)f(1)1，则f
9、(x)x3x22，f(2)232226.故选C.3.A由题意知ax33x2有且只有一个根，即函数ya与g(x)x33x2的图象有且只有一个交点，g(x)3x26x3x(x2)，g(x)在(，0)和(2，)上为减函数，在(0，2)上为增函数，又g(0)0，g(2)4，所以a4或a0，故选A.4.D由已知得ysin xa0，即asin x，对于x上恒成立，a1，故选D.5.A构造函数f(x)ln x1x，f(x)1，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增，所以fff，即abc.故选A.6.C因为f(x)ln xx2ax(x0)，所以f(x)xa，函数f(x)ln xx2ax(x0)在上有且仅有一
10、个极值点，yf(x)在上只有一个变号零点.令f(x)xa0，得ax.设g(x)x，则g(x)在单调递减，在1，3上单调递增，g(x)ming(1)2，又g，g(3)，故当a，yf(x)在上只有一个变号零点.故选C.7.C设x1x20，则x1x20，所以由0可得x1f(x1)x2f(x2)0，即H(x)xf(x)在(0，)上单调递增，A中，f(x)为偶函数，H(x)xf(x)xe|x|xex，H(x)exxex(1x)ex，当x1时，H(x)0，不满足函数为(0，)上的增函数，故A不正确；B中，f(x)为偶函数，H(x)xf(x)xln x，H(x)1ln x，当0x时，H(x)0，不满足函数为
11、(0，)上的增函数，故B不正确；C中，f(x)为偶函数，H(x)xf(x)x3，H(x)3x20恒成立，满足函数为(0，)上的增函数，故C正确；D中，f(x)x|x|f(x)，函数不是偶函数，故D错误.故选C.8.A因为f(x)xln x2(x0)，所以f(x)ln x1(x0).令f(x)0，得xe1，所以当xe1，1时，f(x)单调递增，则当xe1，1时，f(x).因为x是函数g(x)的极值点，所以，得b5，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减，且g(2)g(3)2.因为对任意的x1e1，1，总存在唯一的x2(，3)，使得f(x1)g(x2)成立，故x2(2，3)不符合题意，所以x2(，
12、2，此时g(x)(，2，所以(，2，则22，得a0.故选A.9.BC对于A，(x1)x2，A错误；对于B，(xex)xexx(ex)(x1)ex，B正确；对于C，(e2x)(2x)e2x2e2x，C正确；对于D，(ln 2x)(2x)，D错误.故选BC.10.AD由题意知，直线2x6y50的斜率为，则函数f(x)的图象在点(a，f(a)处的切线的斜率为3.又f(x)2x，f(a)2a3，a1或，故选AD.11.BCD直线yxb的斜率k，f(x)的导数为f(x)，即切线的斜率小于0，故A不正确；f(x)x4的导数为f(x)4x3，令4x3，解得x，故B正确；f(x)sin x的导数为f(x)co
13、s x，而cos x有解，故C正确；f(x)ex的导数为f(x)ex，令ex，解得xln 2，故D正确.故选BCD.12.ACD由题知，f(x)2xcos x，令h(x)f(x)，则h(x)2sin x0，所以f(x)2xcos x在R上单调递增，当x0时，f(x)10；当x时，f(x)1cos 0，所以存在x0，使得f(x0)0，所以函数f(x)x2sin x在(，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以f(x)有且只有一个极值点，故A正确；因为f(x)x2sin x，所以g(x)f(x)f(x)x4sin2x，所以g(x)4x32sin xcos x4x3sin 2x，所以g(0)0
14、，故g(x)的一个极值点为0，所以g(x)与f(x)的单调性不相同，故B错误；因为f(x)有且只有一个极小值点x0，x0，且f(0)0，所以f(x)在(，x0)和(x0，)上各有一个零点，所以f(x)有且只有两个零点，故C正确；因为yx2与ysin x在上都单调递增，所以f(x)x2sin x在上单调递增，故D正确.故选ACD.13.1，1(答案不唯一)f(x)x21，令f(x)0可得x1或1，所以当x1或x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0时，故f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1，1)上单调递减，且f(1)，f(1)，由此可知定义域可以是1，1，(答案不唯一).14.3ef
15、(x)(2xa)ex(x2ax5)exexx2(a2)xa5，则f(1)e(2a2)0，解得a1，所以f(x)(x2x5)ex，则f(x)ex(x23x4)ex(x4)(x1).令f(x)0，得x4或x1；令f(x)0，得4x1.所以f(x)在2，1)上单调递减；在(1，2上单调递增.所以f(x)minf(1)3e.15.设Pk1(xk1，0)，依题意得Qk1(xk1，exk1)，由曲线yex，则yex，所以在Qk1处的切线的方程为yexk1exk1(xxk1)，令y0，得xkxk11(2kn)，由于x10，xkxk11，得xk(k1)，所以|PkQk|exkek1，故|PkQk|1e1e2e
16、n1.16.由f(x)xcos x，xR，得f(x)1sin x0，且f(x)不恒为0，所以函数f(x)在R上单调递增.因为，是钝角三角形中的两个锐角，所以，所以0，所以0sin sin1，即0sin cos 1，所以f(cos )f(sin ).17.解f(x)x24，令f(x)0，解得x2或x2.(1)当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)故x2时，函数取得极大值，x2时，函数取得极小值.(2)当x在0，4上变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x0(0，2)2(2，4)4f(x)0f(x)4故x4时，函数取得最大值，x2时，函数
17、取得最小值.18.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)2x1，令f(x)0，得x(负值舍去)，当0x0，当x时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)令f(x)x2axln x0，x0，得ax，令g(x)x，其中x，则g(x)1，令g(x)0，得x1，当x1时，g(x)0，当10，g(x)在上单调递减，在(1，3)上单调递增，g(x)ming(1)1，由于函数f(x)在上有两个零点，即ya与yg(x)图象有两个交点，g3ln 3，g(3)3，3ln 33，实数a的取值范围是.19.解(1)若m2，则f(x)x(ln x3)，则f(x)ln x2，则f
18、(e)ln e21，即切线斜率为1，又f(e)e(ln e3)2e，则切线方程为y2e(xe)，即xye0.(2)函数f(x)的定义域为(0，).由f(x)4ln x可得x(ln xm1)4ln x0，即m1对任意xe，e2恒成立，令g(x)，则g(x)，令h(x)4ln xx4，xe，e2，则h(x)10，所以h(x)在e，e2上单调递增，则h(x)h(e)e0，则g(x)0，所以g(x)在e，e2上单调递增，g(x)maxg(e2)2，所以m12，即m1.综上，实数m的取值范围是.20.解(1)由题意得|OA|2403640，|OA|80，|AB|OA|OB|8040120(米).(2)设
19、总造价为f(x)万元，|OO|802160，设|OE|x，f(x)kk(0x40)，f(x)k，f(x)k0，x20.当0x20时，f(x)0；当20x40时，f(x)0，因此当x20时，f(x)取最小值，答：当OE20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.21.(1)解当be1时，g(x)xe1ex，g(x)1ex0，故g(x)xe1ex在(，)上单调递增，且g(1)0，所以x21.因为存在x1，x2(x1x2)，使得f(x1)g(x2)0，所以存在x1(x11)，使得f(x1)0.因f(x)1，x0，故f(x)0，所以f(x)为(0，)上的增函数，所以当x1时，f(x)(1a，)，所以当1a0
20、，即a1时，存在x1(x11)，使得f(x1)0.所以实数a的取值范围是(，1).(2)证明因为g(x)xbex在(，)上单调递增，当be1时，g(1)1be0，g(x2)0，所以x1x21.设h(x)f(x)g(x)(x1)，则h(x1)g(x1)，h(x2)f(x2)，h(x)f(x)g(x)ex，因为x1，所以01，exe，则ex1e0，所以h(x)在(1，)上单调递减.因为x1x21，所以h(x1)h(x2)，即g(x1)f(x2)，所以f(x2)g(x1)0.22.(1)解f(x)(x0)，令x22ax10，4a24，当0，即1a1时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当0，
21、即a1或a1时，当a1时，2ax0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，令f(x)0，得x1a，x2a，x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)在(0，a)，(a，)上单调递增，在(a，a)上单调递减.(2)证明由(1)知a1时，f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x22a，x1x21，不妨设x21x10，2.要证24a，只需证2，即2，即证ln x2x20，x21.设g(t)ln tt(t1)，由(1)知当a时，f(x)在(0，)上单调递增，g(t)f(t)，则g(t)在(1，)上单调递减，g(t)g(1)0，原式得证.
