1、4.4 三角函数的最值与综合应用,高考数学,考点三角函数的最值与综合应用1.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式(1)y=asin x+bcos x=?sin(x+),其中cos =?,sin =?.(2)y=?或y=?可转化为只有分母含sin x或cos x的函数式,或转化为sin x=f(y)或cos x=f(y)的形式,由正、余弦函数的有界性求解.2.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式(1)y=asin2x+bcos x+c(a0)可转化为关于cos x的二次函数.(2)y=asin x+?(a,b,c0),令sin x=t,则转化为求y=at+?(-1t1且t0)的最值,一般
2、可利用图象求解.,知识清单,3.用解析法求三角函数的最值常见的函数形式y=?或y=?(ab0)可转化为椭圆上的动点与定点连线斜率的最值问题.4.三角函数的实际应用是指用三角函数理论解答生产、科研和日常生活中的实际问题.三角函数应用题的特点:(1)实际问题的意义反映在三角形中的边角关系上,这样的三角形有直角三角形、斜三角形,有时一个问题中既有直角三角形又有斜三角形;(2)函数的模型多种多样.,关于三角函数值域或最值的解题策略求三角函数的值域或最值,除了判别式、基本不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下常用方法:1.涉及正、余弦函数以及asin +bcos =?sin(+)?的都可
3、考虑利用有界性处理.2.y=asin2x+bsin xcos x+cos2x+c? y=Asin 2x+Bcos 2x+C=?sin(2x+)+C?,再利用有界性处理.3.形如y=asin2x+bcos x+c或y=acos2x+bsin x+c(a0)的函数求最值时都可进行适当变换,通过配方来求解.4.sin xcos x,sin xcos x在关系式中出现时,可考虑用换元法处理,如令t=,方法技巧,sin x+cos x,则sin xcos x=?.把三角问题转化为代数问题解决.5.形如y=?(ab0)的函数,可考虑数形结合(常用到直线斜率的几何意义).6.形如y=x+?或能确定在所给区间
4、上单调性的函数,可考虑利用单调性求解.例1(2017浙江名校协作体,18)已知0,函数f(x)=?cos(2x+)+sin2x.(1)若=?,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的最大值是?,求的值.,解题导引(1)由二倍角公式和辅助角公式把函数化为y=Acos(x+)+B的形式利用单调性得结论(2)由两角和的余弦公式和二倍角公式把函数化为y=acos 2x+bsin 2x+c的形式由函数最值求cos 的值结合的范围得结论,解析(1)由题意可知,f(x)=?cos 2x-?sin 2x+?(3分)=?cos?+?.?(5分)由2k-2x+?2k,kZ,得k-?xk-?,kZ.所以f(x)
5、的单调递增区间为?,kZ.?(8分)(2)由题意可知,f(x)=?(cos 2xcos -sin 2xsin )+?,所以f(x)=?cos 2x-?sin sin 2x+?,?(10分)由于函数f(x)的最大值为?,所以?+?=1,?(12分),从而cos =0,又00),使其在区间0,1上恰好出现2 017次最大值,求m的取值范围.,解题导引(1)由二倍角公式和两角和的余弦公式把函数解析式化简利用单调性得结论(2)通过函数变换把问题转化为函数y=sin 2mx在闭区间0,1上的最小值的个数问题利用三角函数的周期性,把问题转化为区间0,1内包含的周期的个数问题解不等式得结论,解析(1)f(x)=cos?+sin2x=cos 2xcos ?-sin 2xsin ?+?=?-?sin 2x.令2k+?2x2k+?,kZ,得k+?xk+?,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为?,kZ.(2)设变换后的图象对应的函数为g(x),则g(x)=f(mx)=?-?sin 2mx,要使g(x)在区间0,1上恰好出现2 017次最大值,仅需函数g1(x)=sin 2mx在区间0,1上恰好出现2 017次最小值,故?T+2 016T1?T+2 017T,所以?T?,即?,解得?m?,所以m的取值范围是?.,
