1、6.2 等差数列,高考数学,考点一等差数列的有关概念及运算1.如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN*).2.如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项,且A=?.3.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d和an=am+(n-m)d.4.等差数列的公差公式为d=?和d=?.,知识清单,(1)Sn=?=?=;(2)Sn=na1+?;(3)Sn=?n2+?n;(4)n为奇数,Sn=n?(?为中间项).,5.等差数列的前n项和公式,考点二等差数列的性质及
2、应用1.等差数列的性质(1)m,n,p,qN*,若?m+n=p+q,则am,an,ap,aq的关系为am+an=ap+aq,特别地,a1+an=a2+an-1=.(2)an=an+b(a,b是常数)是an成等差数列的充要条件,(n,an)是直线上一群孤立的点.(3)数列an的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)是an成等差数列的充要条件.(4)等差数列的单调性?d0?an为递增数列,Sn有最小值.?d0?an为递减数列,Sn有最大值.,d=0?an为常数列.(5)若an和bn均是等差数列,则man+kbn仍为等差数列,m,k为常数.(6)等差数列中依次k项的和成等差数列,即Sk,S2k-
3、Sk,S3k-S2k,成等差数列,公差为k2d.(7)项数为偶数2n的非零等差数列an,有S2n=n(a1+a2n)=n(a2+a2n-1)=n(an+an+1)(an与an+1为中间的两项),S偶-S奇=nd,?=?.(8)项数为奇数2n-1的非零等差数列an,有S2n-1=?(2n-1)an(an为中间项),S奇-S偶=an,?=?.,2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列an中,若an=m,am=n(mn),则am+n=0.(2)等差数列an中,若Sn=m,Sm=n(mn),则Sm+n=-(m+n).(3)等差数列an中,若Sn=Sm(mn),则Sm+n=0. (4)若an与bn均为等
4、差数列,且前n项和分别为Sn与Tn,则?=?.,等差数列中的“基本量法”的解题策略在等差数列中,把已知条件转化为关于首项和公差的方程,解方程组求出首项和公差的方法称为基本量法.在等差数列an中,一般参与运算的量为a1,d,n,an,Sn,若已知其中三个,则可求出其余两个,即“知三求二”.例1(2017浙江镇海中学模拟卷三,14)已知等差数列an的前n项和为Sn,a2=4,S10=110,则该数列的公差是,?的最小值是.,方法技巧,解题导引用基本量法得数列的公差由通项公式与求和公式,把?表示成关于n的函数由函数性质得最小值,解析设数列an的公差为d,则有?解得a1=d=2,故an=2n,Sn=n
5、2+n. 从而?=?=?,故当n=3时,?有最小值?.,答案2;,评析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,利用“基本量法”求相关量,考查对勾函数的性质和学生的运算求解能力.,等差数列性质的解题策略在等差数列an中,经常用到的性质:1.若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,反之也成立.2.若等差数列an的前n项和为Sn,则an=?.3.若等差数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也成等差数列.例2(2017浙江镇海中学模拟卷一,13)已知等差数列an的前n项和为Sn,2a8-3=a10,则S11的值是 ;若a1=8,则|Sn+10-Sn
6、|的最小值是 .,解题导引利用等差数列的性质得a6的值由等差数列性质S2n-1=(2n-1)an得S11的值利用基本量法求an的表达式求和得Sn+10-Sn的表达式结论,解析设数列an的公差为d.由2a8-3=a10得a8-3=a10-a8=2d,所以a6=3,故S11=?(a1+a11)=11a6=33.由题可知,?所以d=-1,因此an=9-n,所以Sn+10-Sn=an+1+an+2+an+10=?9-(n+1)+9-(n+10)=5(7-2n),所以当n=3或4时,|Sn+10-Sn|取到最小值,是5.,答案33;5,评析本题考查等差数列的前n项和公式、等差数列的性质,考查“整体法”以及推理运算能力.,
