1、2.8函数与方程,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,4,1.函数的零点(1)定义:如果函数y=f(x)在实数处的值等于,即,则叫做这个函数的零点.(2)变号零点:如果函数图象通过零点时,则称这样的零点为变号零点.(3)几个等价关系方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与有交点?函数y=f(x)有.,零,f()=0,穿过x轴,x轴,零点,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4,2.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值,即,则这个函数在这个区间上至少有一个零点,即存在一点x0(a,b),使f(x0)=0.
2、,异号,f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),2,1,0,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,4.二分法对于在区间a,b上连续不断且的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,f(a)f(b)0,一分为二,零点,4,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). ()(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点. ()(
3、3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则f(a)f(b)0. ()(4)若函数f(x)在(a,b)上连续单调且f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点. ()(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个. ()(6)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. (),答案,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2. 函数f(x)=1-xlog2x的零点所在区间是(),C.(1,2)D.(2,3),答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零
4、点,那么m的取值范围是()A.(-2,6)B.-2,6C.-2,6D.(-,-2)(6,+),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.函数f(x)=x2-2x在xR上的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5. 函数f(x)=ex+3x,则方程ex+3x=0实数解的个数是()A.0B.1C.2D.3,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.“连续函数在一个区间端点处的
5、函数值异号”是“这个函数在这个区间上存在零点”的充分条件,而不是必要条件.3.函数y=f(x)在区间a,b上单调,且f(a)f(b)0,若函数f(x)的图象是连续的,则f(x)在a,b上只有一个零点;若函数f(x)的图象不连续,则f(x)在a,b上可能没有零点.,-12-,考点1,考点2,考点3,答案,例1(1)(2017辽宁抚顺重点校一模)函数f(x)=-|x|- +3的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)设定义域为(0,+)内的单调函数f(x),对任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一个解,
6、则x0可能存在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)思考判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法有哪些?,-13-,考点1,考点2,考点3,-14-,考点1,考点2,考点3,解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)通过画函数的图象,观察图象与x轴在给定区间上是
7、否有交点来判断.,-15-,考点1,考点2,考点3,零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)(2)已知函数 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(3)函数f(x)=x2-3x-18在区间1,8上零点.(填“存在”或“不存在”),答案,-16-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)因为f(x)在(0,+)上的图象是连续的,且f(1)=6-零点所在区间为(2,4).(2)由条件可知f(1)f(2)0,f(1)f(8)0,又f(x)=x2-3x-18在区间1,8上的图象是连续的,f(x)=
8、x2-3x-18在区间1,8上存在零点.,-17-,考点1,考点2,考点3,(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,(x-6)(x+3)=0.x=6或x=-3.x=61,8,x=-3?1,8,f(x)=x2-3x-18在区间1,8上存在零点.,-18-,考点1,考点2,考点3,例2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ()A.1B.2C.3D.4(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x0,+),满足f(x+2)=f(x),若当x0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为.思考判断函数零点个数的常用方法
9、有哪些?,答案,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)由题意作出y=f(x)在区间-2,4上的图象,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为7.,-21-,考点1,考点2,考点3,解题心得判断函数零点个数的方法:(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的
10、交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.,-22-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)函数f(x)=sin(cos x)在区间0,2上的零点个数是()A.3B.4C.5D.6(2)(2017河北张家口4月模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x(0,+)时,f(x)=2 017x+log2 017x,则f(x)在R上的零点的个数为.,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,例3(2017河北武邑中学一模)已知函数若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,求实数m的取值范围.思考已知函数有零点(方程有根),求参数的取值
11、范围常用的方法有哪些?,-24-,考点1,考点2,考点3,由4-2x=0,得x=2;由x2+2x-3=0,得x=-3,x=1.又函数g(x)恰有三个不同的零点,方程g(x)=0的实根2,-3和1都在相应范围上,即1m2.故实数m的取值范围是(1,2.,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:先根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值的域问题加以解决.(3)数形结合法:先对函数的解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出
12、函数的图象,再数形结合求解.,-27-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2017湖北武昌1月调研)已知函数f(x)=2ax-a+3,若?x0(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-,-3)(1,+)B.(-,-3)C.(-3,1)D.(1,+),答案,解析,-28-,考点1,考点2,考点3,1.函数零点的常用判定方法:(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数的取值范围问题可转化为函数值域问题.,-29-,考点1,考点2,考点3,函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点的个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.,
