1、第八节解三角形,总纲目录,教材研读,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型,考点突破,2.实际问题中的常用角,3.解关于解三角形的应用题的一般步骤,考点二测量高度问题,考点一测量距离问题,考点三测量角度问题,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.,教材研读,2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线上方的角叫仰角,目标视线在水平线下方的角叫俯角(如图).,(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30,北偏西45等.(3)方位角从正北方向顺时针转到目标方向的水平
2、角叫做方位角,如点B的方位角为(如图).(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比),3.解关于解三角形的应用题的一般步骤(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算等的要求.,简单的三角方程的通解sin =sin ?=k+(-1)k(kZ);cos =cos ?=2k+或=2k-(kZ);tan =tan ?=k+(kZ).,1.在某次测量中,在A处测得
3、同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的俯角为70,则BAC等于?()A.10B.50C.120D.130,答案D,D,2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为?()?A.a kmB.?a kmC.?a kmD.2a km,答案B在ABC中,ACB=180-(20+40)=120,AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120=a2+a2-2a2?=3a2,AB=?a(km),故选B.,B,3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为?()A.北偏西5B.北偏西1
4、0C.北偏西15D.北偏西20,B,答案B易知B=A=30,C在B的北偏西40的方向上,又40-30=10,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10.,4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB等于?()?A.?B.?C.?aD.,B,答案B因为D=30,ACB=60,所以CAD=30,故CA=CD=a,所以AB=asin 60=?.,5.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB=45,CAB=105,则可以计算出A,B两点间的距离为.,答案50? m,解析由题意,易得
5、B=30.由正弦定理,得?=?,AB=?=?=50?(m).,6.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为海里/小时.,答案,解析如图,由题意知MPN=75+45=120,PNM=45.?在PMN中,?=?,MN=68?=34? 海里.,又由M到N所用的时间为14-10=4小时,此船的航行速度v=?=? ?海里/小时.,考点一测量距离问题,考点突破,典例1如图所示,A,B两点顺一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出A,B的距离,其方法是在A所在的岸边选定一点C,可以测出A,C的距离m,
6、再借助仪器,测出ACB=,CAB=,在ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,则A,B两点间的距离为m.,命题方向一两点间可视但有一点不可到达的距离,答案20,解析ABC=180-75-45=60,所以由正弦定理得,?=?,AB=?=?=20?(m).即A,B两点间的距离为20?m.,典例2如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法是先选定适当的位置C,用经纬仪测出角,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离,即AB=?.若测得CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,则A,B两点的距离为m.,命题方向二两点不
7、相通的距离,答案200,典例3如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,要测出A,B的距离,测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,同时在C,D两点分别测得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和BDC中,由正弦定理分别计算出AC和BC,再在ABC中,应用余弦定理计算出AB.若测得CD=? km,ADB=CDB=30,ACD=60,ACB=45,则A,B两点间的距离为km.,命题方向三两点都不可到达的距离,答案,解析ADC=ADB+CDB=60,ACD=60,DAC=60,AC=DC=?(km).在BCD中,DBC=45,由正弦定理,得BC=?sinBDC=?sin
8、 30=?.,在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 45=?+?-2?=?.AB=?(km).A,B两点间的距离为? km.,易错警示求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.,1-1隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距?千米的C、D两点,测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B之间的距离.,考点二测量高度问题
9、,典例4(2017福州综合测试)如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30,45,且BAC=135.若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时14 s,则这辆汽车的速度约为22.6m/s(精确到0.1).参考数据:?1.414,?2.236.,答案22.6,易错警示解决高度问题应注意三点(1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念.(2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(地面)的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)一般是把高度问题转化成三角形的
10、问题,要注意三角形中的边角关系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.,2-1如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点间的距离为60 m,则树的高度为m.,答案30+30,解析在PAB中,PAB=30,APB=15,AB=60 m,sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30=?-?=?.由正弦定理得?=?,PB=?=30(?+?)m,树的高度为PBsin 45=30(?+?)?=(30+30?)(m).,2-2江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一
11、水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部所连的线成30角,则两条船相距m.,答案10,解析由题意画示意图,如图,?OM=AOtan 45=30(m),ON=AOtan 30=?30=10?(m),在MON中,由余弦定理得,MN=?=?=10?(m).,典例5如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处)发现在北偏东45方向,相距12 n mile的水面B处,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的
12、时间和角的正弦值.,考点三测量角度问题,解析如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x小时,?则AC=14x(n mile),BC=10x(n mile),ABC=120.,根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120,解得x=2(负值舍去).故AC=28 n mile,BC=20 n mile.根据正弦定理得?=?,解得sin =?=?.所以,要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时间为2小时,角的正弦值为?.,易错警示解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义;(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确
13、的示意图,这是最关键、最重要的一步;(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.,3-1如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向,相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线前往B处救援,求cos 的值为.,答案,解析在ABC中,AB=40海里,AC=20海里,BAC=120,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以BC=20?海里.由正弦定理,得sinACB=?sinBAC=?.由BAC=120,知ACB为锐角,故cosACB=?.故cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACB sin 30=?.,
