1、第七章不等式、推理与证明,-2-,7.1二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题,-4-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区域应边界直线,则把边界直线画成.(2)由于对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它们的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+
2、C的即可判断Ax+By+C0表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.,平面区域,不包括,包括,实线,相同,符号,3,-5-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,(3)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C0或Ax+By+C0时,区域为直线Ax+By+C=0的;当B(Ax+By+C)0表示的平面区域一定在直线x-y-1=0的上方.()(2)两点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0所表示的平面区域内,则m的取值范围是()A.m1B.m1C.m1,答案,解析,-11-,知识梳
3、理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.(2017北京,文4)若x,y满足 则x+2y的最大值为()A.1B.3C.5D.9,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.(2017广西南宁一模)如果实数x,y满足约束条件那么z=3x+2y的最大值为.,答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时,就无法表示平面上的一个区域.2.线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点的情况下,分析其在y轴上的截距的取值范围,所以取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.3.求线性目标函数z=ax+b
4、y(ab0)的最值,当b0时,若直线过可行域且在y轴上的截距最大,则z值最大;若在y轴上截距最小,则z值最小;当b0时,则相反.,-14-,考点1,考点2,考点3,思考如何确定二元一次不等式(组)表示的平面区域?,-15-,考点1,考点2,考点3,答案:(1)C(2)D,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,解题心得确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法:(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组.若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.(2)若不等式带等号
5、,则边界画为实线;若不等式不带等号,则边界为虚线.,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)两条直线方程分别为x-2y+2=0与x+y-1=0.把x=0,y=0代入x-2y+2得2,可知直线x-2y+2=0右下方所表示的二元一次不等式为x-2y+20,把x=0,y=0代入x+y-1得-1,可知直线x+y-1=0右上方所表示的二元一次不等式为x+y-10,-21-,考点1,考点2,考点3,考向一求线性目标函数的最值例2(2017全国,文7)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是()A.-15B.-9C.1D.9思考怎样利用
6、可行域求线性目标函数的最值?,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,考向二已知目标函数的最值求参数的值A.-1,2B.-2,1C.-3,-2D.-3,1思考如何利用可行域及最优解求参数及其取值范围?,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,考向三求非线性目标函数的最值A.4B.9C.10D.12思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?,答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约束条件作出可行域,然后根据目标函数找到最优解时的点,最后把解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其取值范围的方法:(1)若限制
7、条件中含参数,依据参数的不同取值范围将各种情况下的可行域画出来,寻求最优解,确定参数的值;(2)若线性目标函数中含有参数,可对线性目标函数的斜率分类讨论,以此来确定线性目标函数经过哪个顶点取得最值,从而求出参数的值;也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应的参数的值,然后进行检验,找出符合题意的参数值.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法:画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,答案: (1)D(2)A(3)D (4)B,-27-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)将z=x
8、+y化为y=-x+z,作出可行域和目标函数基准直线y=-x(如图所示).当直线y=-x+z向右上方平移时,直线y=-x+z在y轴上的截距z增大,由数形结合,知当直线过点A时,z取到最大值.由,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,(4)如图所示,不等式组表示的平面区域是ABC的内部(含边界),x2+y2表示的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离,其值为1;最远的距离为AO,其值为2,故x2+y2的取值范围是1,4.,-31-,考点1,考点2,考点3,例5某高科技企业生产产品A和产品B需
9、要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.思考求解线性规划的实际问题要注意什么?,答案: 216 000,-32-,考点1,考点2,考点3,-33-,考点1,考点2,考点3,-34-,考点1,考点2,考点3,解题心得求解线性规划的实际问题要注意两点:(1)设出未知数x,y,并写出问题中的约束条
10、件和目标函数,注意约束条件中的不等式是否含有等号;(2)判断所设未知数x,y的取值范围,分析x,y是否为整数、非负数等.,-35-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2017天津,文16)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.,-36-,考点1,考点2,考点3,(1)用x,y列出满足题目条件的数
11、学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?,解: (1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分.,图1,(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为 随z变化的一族平行直线.z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.,-37-,考点1,考点2,考点3,图2,-38-,考点1,考点2,考点3,线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略:(1)求线性目标函数的最值.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,因此对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.(2)由目标函数的最值求参数.求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数求出最优解,代入目标函数确定最值,从而构造方程或不等式求解参数的值或取值范围;二是先分离含有参数的式子,通过观察的方法确定含参数的式子所满足的条件,确定最优解的位置,从而求出参数的值或取值范围.,
