1、第四节导数与函数的综合问题,总纲目录,教材研读,1.利用导数证明不等式的基本步骤,考点突破,2.一元三次方程根的个数问题,考点二利用导数研究函数零点问题,考点一导数与不等式的有关问题,考点三利用导数研究生活中的优化问题,1.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.(5)下结论.,教材研读,2.一元三次方程根的个数问题令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f (x)=3ax2+2bx+c.,方程f (x)=0的判别式=(2b)2-12ac,(1)当0,即b23ac时, f (x)0恒成
2、立, f(x)在R上为增函数,结合函数f(x)的图象知,方程f(x)=0有唯一一个实根.(2)当0,即b23ac时,方程f (x)=0有两个不同的实根,设为x1,x2(x1m).a.当m0时,方程f(x)=0有一个实根;b.当m=0时,方程f(x)=0有两个实根;c.当m0时,方程f(x)=0有三个实根;d.当M=0时,方程f(x)=0有两个实根;e.当M9时,y0,函数单调递减.故当x=9时,y取最大值,即使该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.,C,2.已知函数f(x)的定义域为-1,4,部分对应值如下表, f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示.,当1a2时,函数y=f(x)-
3、a的零点的个数为?()A.2B.3C.4D.5,C,答案C根据已知条件可还原出函数f(x)在定义域-1,4内的大致图象.?函数y=f(x)-a的零点个数即直线y=a与曲线y=f(x)的交点个数.因为1a0时,有?0的解集是?()A.(-2,0)(2,+)B.(-2,0)(0,2)C.(-,-2)(2,+)D.(-,-2)(0,2),D,答案D,解析当x0时,?0,即f(x)0.在(2,+)内恒有(x)0,在(-2,0)内恒有f(x)0的解集,即f(x)0的解集,x2f(x)0的解集为(-,-2)(0,2).,典例2设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求证:当x(
4、1,+)时,1?1时, f (x)0, f(x)单调递减.(2)证明:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=0.所以当x1时,ln xx-1.故当x(1,+)时,ln xx-1,ln?-1,即1?0).当00;当x1时,f (x)0)上存在极值,所以?解得?a1.故实数a的取值范围是?a1.(2)不等式f(x)?,探究将本例(2)改为存在x01,e,使不等式f(x)?成立,求实数k的取值范围.,解析当x1,e时,k?有解,令g(x)=?,由典例3(2)解题知,g(x)在1,+)上为单调增函数,x1,e,g(x)max=g(e)=2+?,k2+?,即实数k的取值范围是?.,方
5、法技巧,1.利用导数解不等式的思路已知一个含f (x)的不等式,可得到和f(x)有关的函数的单调性,然后可利用函数单调性解不等式.,2.利用导数证明不等式的方法证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即f(x)f(e)f(3)B.f(3)f(e)f(2)C.f(3)f(2)f(e)D.f(e)f(3)f(2),答案Df(x)的定义域是(0,+),f (x)=?,令f (x)=0,解得x=e.当x(0,e)时, f (x)0, f(x)单调递
6、增,当x(e,+)时, f (x)f(3)f(2),故选D.,D,1-2(2017课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0,故f(x)在(0,+)上单调递增.若a0;当x?时, f (x)0,故f(x)在?上单调递增,在?上单调递减.(2)证明:由(1)知,当a0;当x(1,+)时,g(x)0时,g(x)0.从而当a0时,ln?+?+10,即f(x)-?-2.,典例4已知f(x)=ax2(aR),g(x)=2ln x.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;(2)若方程f(x)=g(x)在区间?,e上有两个
7、不相等的解,求a的取值范围.,考点二利用导数研究函数零点问题,由ax2-10时,F(x)在区间?上单调递增,在区间?上单调递减.当a0时,F(x)0)恒成立.故当a0时,F(x)在(0,+)上单调递减.(2)由题意得a=?在区间?,e上有两个不相等的解.令(x)=?,由(x)=?易知,(x)在(?,?)上为增函数,在(?,e)上为减函数,则(x)max=(?)=?,而(e)=?,(?)=?.由(e)-(?)=?-?=?=?0,所以(e)(?).所以(x)min=(e),?由图可知当(x)=a有两个不相等的解时,需?a0,所以f(x)在(0,+)上单调递增,当m0时, f (x)=?,所以当0?
8、时, f (x)0,函数f(x)单调递增.综上,当m0时, f(x)在(0,+)上单调递增;当m0时,函数f(x)的单调增区间是(?,+),单调减区间是(0,?).(2)令F(x)=f(x)-g(x)=-?x2+(m+1)x-mln x,x0,问题等价于求函数F(x)的零点个数问题,F(x)=-?,当m=1时,F(x)0,F(x)为减函数,因为F(1)=?0,F(4)=-ln 41时,0m时,F(x)0,所以函数F(x)在(0,1)和(m,+)上单调递减,在(1,m)上单调递增,因为F(1)=m+?0,F(2m+2)=-mln(2m+2)0,所以F(x)有唯一零点.综上,函数F(x)有唯一零点
9、,即两函数图象总有一个交点.,典例5某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=?+10(x-6)2,其中3x6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定使商场每日销售该商品所获得的利润最大的销售价格x的值.,考点三利用导数研究生活中的优化问题,解析(1)因为x=5时,y=11,所以?+10=11,a=2.(2)由(1)知,该商品每日的销售量y=?+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)?=2+10(x-3)(x-6)
10、2,3x6.则f (x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).于是,当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.,规律总结利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).(2)求函数的导数f (x),解方程f (x)=0.(3)比较函数在区间端点和使f (x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;若函数在开区间内只有一个极值点,那么该极值点就是最值点.(4)回归实际问题作答.,3-1某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间满足关系式y=?x3-?x2-40x(x
