第5讲 函数单调性 讲义（含答案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第第5讲讲 函数单调性函数单调性一、知识点详解一、知识点详解知识点知识点1 函数单调性的定义函数单调性的定义增函数增函数减函数减函数设函数)(xf的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值21,xx定义定义符号语言符号语言当时21xx，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间 D 上是增函数当21xx 时，都)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间 D 上是减函数图象语言图象语言自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降文字语言文字语言y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小单调性定义的两种变式单调性定义的两种变式：设任意21,xx且21xx，那么 baxfxfxfxx,)(0)()(2121在上是增函数；baxfxfxfxx,)(0)()(2121在上是减函数1212()()0f xf xxx)(xf在,a b上是增函数；1212()()0f xf xxx)(xf在,a b上是减函数 知识点知识点2 利用定义证明函数单调性利用定义证明函数单调性1、作差法判断单调性的步骤：设自变量：设给定区间上的21,xx且21xx 作差比较大小：计算)()(21xfxf；定号：判断差的符号；下结论.知识点知识点3 单调性的应用单调性的应用1、利用单调性定义判断单调性2、利用单调性，求函数值域一般地，设函数)(xfy 的定义域为I，如果存在存在实数M满足：（1）,Ix都有Mxf)(（2）Ix 0，使得Mxf)(0那么我们称M是函数)(xfy 的最大值二、例题解析二、例题解析例例 1：判断函数单调性：判断函数单调性(1)下列函数中，在(0,)上为增函数的是()A()3f xxB2()3f xxxC1()f xx D()|f xx【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A为一次函数，在(0,)上为减函数，不符合题意；对于B为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C为反比例函数，在(0,)上为增函数，符合题意；对于D当0 x时，()f xx，函数()f x在(0,)为减函数，不符合题意；（2）已知函数228yxx，那么()A当(1,)x时，函数单调递增B当(1,)x时，函数单调递减C当(,1)x 时，函数单调递增D当(,3)x 时，函数单调递减【答案】A【解析】解：因为函数228yxx的图象开口向上，关于1x 对称，所以其单调增区间为(1,)，单调减区间为(,1)故选：A（3）函数(21)ykxb在(,)上是减函数，则()A12k B12k C12k D12k 【答案】D【解析】解：函数(21)ykxb在(,)上是减函数 210k 12k 例例 2：利用定义证明函数单调性：利用定义证明函数单调性（1）利用定义判断函数求32yx在区间3，6上的单调性，并求该函数在3，6上的最大值和最小值【答案】减函数，该函数在3，6上的最大值为3332，最小值为33624【解析】解：设1x，23x，6，且12xx，则：211212123()3322(2)(2)xxyyxxxx；由1x，23x，6，12xx得，210 xx，12(2)(2)0 xx；12yy；32yx在区间3，6上单调递减；该函数在3，6上的最大值为3332，最小值为33624(2).已知函数1()(1)1xf xxx（1）证明()f x在(1,)上是减函数；（2）当3x，5时，求()f x的最小值和最大值【答案】（1）略（2）()maxf xf（3）2，()minf xf（5）1.5【解析】（1）证明：设121xx，则121221211212121211(1)(1)(1)(1)2()()()11(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxf xf xxxxxxx11x，21x，110 x，210 x ，12(1)(1)0 xx，12xx，210 xx，12()()0f xf x12()()f xf x()f x在(1,)上是减函数（2）解：3，5(1,)，()f x在3，5上是减函数，()maxf xf（3）2，()minf xf（5）1.5（3）已知函数()af xbxx（其中a，b为常数）的图象经过(1,3)、(2,3)两点()I求a，b的值()II证明：函数()f x在区间 2，)上单调递增【答案】（）2a，1b （）略【解析】解：（）函数()f x的图象经过(1,3)、(2,3)两点3232abab，得2a，1b，函数解析2()f xxx，定义域为：(，0)(0，)()II设任意的12,2,)x x，且12xx，12121222()()f xf xxxxx2112212112122()2()()xxx xxxxxx xx x122 xx，210 xx，且1220 x x，所以12()()0f xf x，即12()()f xf x，函数()f x在区间 2,)上单调递增【总结与反思】如果是解答题，那么“判断函数的单调性”与“证明函数的单调性”实际上解题过程是完全一样的，都需要这几步：设元、作差、变形、断号、定论例例 3：利用函数单调性解不等式：利用函数单调性解不等式（1）已知()f x是在 1，1上的增函数，(1)(13)f xfx，则x的范围是()A12xB102x C12x D102x【答案】B【解析】解：由已知可得11 11 131113xxxx ，解得102x（2）函数()f x为R上的减函数，则满足1(|)ffx（1）的实数x的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1,1)D(0,1)【答案】A【解析】解：()f x为R上的减函数；由1(|)(1)ffx得，1|1x；解得11x，且0 x；实数x的取值范围为(1，0)(0，1)故选：A（3）若函数()yf x定义在 1，2上，且满足1()2ff（1），则()f x在区间 1，2上是()A增函数B减函数C先减后增D无法判断其单调性【答案】D【解析】解：由1()(1)2ff不能判断：对任意的1x，2 1x ，2，1()f x与2()f x的大小关系；()f x在区间 1，2上是无法判断其单调性的 故选：D例例 4：利用函数单调性求参数范围：利用函数单调性求参数范围/求值域求值域（1）若yax与byx 在(0,)都是增函数，则2yaxbx在(0,)上是()A增函数B减函数C先增后减D先减后增【答案】A【解析】解：根据函数yax与byx 在(0,)都是增函数，可得0a，0b，故函数2yaxbx的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为02bxa，故函数2yaxbx在(0,)上是增函数，（2）函数2()f xmax xx，21x的单调增区间是()A12，0，1，)B(，12，0，1C12，1D0，1【答案】A【解析】解：由221xxx 得2210 xx，解得1x 或12x ，当1x或12x，2()f xmax xx，221xxx，此时函数的递增区域为1，)，当112x，2()f xmax xx，2211xx，此时函数的递增区域为12，0，综上函数的递增区间为12，0，1，)，（3）若函数()|2|f xxa在区间3，)上是增函数，则a的取值范围是【答案】故答案为 6，)【解析】2,2()2,2axa xf xaxa x，()f x在(,)2a 上单调减，在2a，)上单调增，函数()|2|f xxa在区间3，)上是增函数，32a，解得6a（4）已知函数2()22f xxax，5x，5（）当1a 时，求函数()f x的最大值和最小值；（）求实数a的取值范围，使()yf x在区间 5，5上是单调函数【答案】（）1x时，()f x取最小值 1 5x 时，()f x取最大值 37；（）实数a的取值范围为(，55，)【解析】解：（）1a ，22()22(1)1f xxxx；5x，5；1x时，()f x取最小值 1；5x 时，()f x取最大值 37；（）()f x的对称轴为xa；()f x在 5，5上是单调函数；5a，或5a 三、课堂练习三、课堂练习A 类A 类1.已知函数()2|1|f xxx（）根据绝对值和分段函数知识，将()f x写成分段函数；（）在如图的直角坐标系中画出函数()f x的图象：（）根据图象，写出函数()f x的单调区间、值域（不要求证明）2下列四个函数中，在(,0)上是增函数的是()A21yxB11yx C256yxxD3yx3函数254yxx的单调递增区间是()A5,)2B5,4)2C4，)D51,),4,)24.函数()yf x在R上为增函数，且(2)(9)fmfm，则实数m的取值范围是()A(,3)B(0,)C(3,)D(，3)(3，)5已知()f x为R上的减函数，则满足1()1ffx（1）的实数x的取值范围是()A(,2)B(2,)C(，1)(1，2)D(，1)(2，)B 类B 类6已知函数()f x是R上的减函数，(0,2)A，(3,2)B 是其图象上的两点，那么不等式|(2)|2f x 的解集是()A(1,2)B(，1)(4，)C(，1)(2，)D(，3)(0，)7已知函数()23aaf xxx在(1,3)上是减函数，则实数a的取值范围是8函数423(0)yxxx的最大值是 9函数(3)4,1()2,1axxf xaxx，是(,)上的单调递减函数，则实 数a的范围是四、课后作业四、课后作业A 类A 类1若函数2()(32)f xkkxb在R上是减函数，则k的取值范围为2下列四个函数中，在(0,)上为增函数的是()A()3f xxB2()3f xxxC2()f xx D1()1f xx 3已知函数()yf x在定义域 2，4上是单调减函数，且(1)(2)f afa，则a的取值范围是()A12a B11a C33a D13a 4 已 知2()41f xxmx在(，2上 递 减，在 2，)上 递 增，则f（1）5如果函数2()2(1)2f xxax在区间(，4上是减函数，那么实数a的取值范围是B 类B 类6函数223yxx的单调减区间是()A(，1B1，)C3，)D(，17.已知函数21()1xf xx （）证明：函数()f x在区间(0,)上是增函数；（）求函数()f x在区间1，17上的最大值和最小值8若函数29()af xxa在区间 2，)上单调递减，则实数a的取值范围是9已知函数2()(0)f xaxbxc a，满足(0)2f，(1)()21f xf xx（）求函数()f x的解析式；（）求函数()f x的单调区间；（）当 1x，2时，求函数的最大值和最小值10若函数2(2),0()(21)1,0 xa x xf xaxax在R上为增函数，则a取值范围为 第第5讲讲 函数单调性函数单调性一、知识点详解一、知识点详解知识点知识点1 函数单调性的定义函数单调性的定义增函数增函数减函数减函数设函数)(xf的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值21,xx定义定义符号语言符号语言当时21xx，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间 D 上是增函数当21xx 时，都)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间 D 上是减函数图象语言图象语言自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降文字语言文字语言y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小单调性定义的两种变式单调性定义的两种变式：设任意21,xx且21xx，那么 baxfxfxfxx,)(0)()(2121在上是增函数；baxfxfxfxx,)(0)()(2121在上是减函数1212()()0f xf xxx)(xf在,a b上是增函数；1212()()0f xf xxx)(xf在,a b上是减函数 知识点知识点2 利用定义证明函数单调性利用定义证明函数单调性1、作差法判断单调性的步骤：设自变量：设给定区间上的21,xx且21xx 作差比较大小：计算)()(21xfxf；定号：判断差的符号；下结论.知识点知识点3 单调性的应用单调性的应用1、利用单调性定义判断单调性2、利用单调性，求函数值域一般地，设函数)(xfy 的定义域为I，如果存在存在实数M满足：（1）,Ix都有Mxf)(（2）Ix 0，使得Mxf)(0那么我们称M是函数)(xfy 的最大值二、例题解析二、例题解析例例 1：判断函数单调性：判断函数单调性(1)下列函数中，在(0,)上为增函数的是()A()3f xxB2()3f xxxC1()f xx D()|f xx【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A为一次函数，在(0,)上为减函数，不符合题意；对于B为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C为反比例函数，在(0,)上为增函数，符合题意；对于D当0 x时，()f xx，函数()f x在(0,)为减函数，不符合题意；（2）已知函数228yxx，那么()A当(1,)x时，函数单调递增B当(1,)x时，函数单调递减C当(,1)x 时，函数单调递增D当(,3)x 时，函数单调递减【答案】A【解析】解：因为函数228yxx的图象开口向上，关于1x 对称，所以其单调增区间为(1,)，单调减区间为(,1)故选：A（3）函数(21)ykxb在(,)上是减函数，则()A12k B12k C12k D12k 【答案】D【解析】解：函数(21)ykxb在(,)上是减函数 210k 12k 例例 2：利用定义证明函数单调性：利用定义证明函数单调性（1）利用定义判断函数求32yx在区间3，6上的单调性，并求该函数在3，6上的最大值和最小值【答案】减函数，该函数在3，6上的最大值为3332，最小值为33624【解析】解：设1x，23x，6，且12xx，则：211212123()3322(2)(2)xxyyxxxx；由1x，23x，6，12xx得，210 xx，12(2)(2)0 xx；12yy；32yx在区间3，6上单调递减；该函数在3，6上的最大值为3332，最小值为33624(2).已知函数1()(1)1xf xxx（1）证明()f x在(1,)上是减函数；（2）当3x，5时，求()f x的最小值和最大值【答案】（1）略（2）()maxf xf（3）2，()minf xf（5）1.5【解析】（1）证明：设121xx，则121221211212121211(1)(1)(1)(1)2()()()11(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxf xf xxxxxxx11x，21x，110 x，210 x ，12(1)(1)0 xx，12xx，210 xx，12()()0f xf x12()()f xf x()f x在(1,)上是减函数（2）解：3，5(1,)，()f x在3，5上是减函数，()maxf xf（3）2，()minf xf（5）1.5（3）已知函数()af xbxx（其中a，b为常数）的图象经过(1,3)、(2,3)两点()I求a，b的值()II证明：函数()f x在区间 2，)上单调递增【答案】（）2a，1b （）略【解析】解：（）函数()f x的图象经过(1,3)、(2,3)两点3232abab，得2a，1b，函数解析2()f xxx，定义域为：(，0)(0，)()II设任意的12,2,)x x，且12xx，12121222()()f xf xxxxx2112212112122()2()()xxx xxxxxx xx x122 xx，210 xx，且1220 x x，所以12()()0f xf x，即12()()f xf x，函数()f x在区间 2,)上单调递增【总结与反思】如果是解答题，那么“判断函数的单调性”与“证明函数的单调性”实际上解题过程是完全一样的，都需要这几步：设元、作差、变形、断号、定论例例 3：利用函数单调性解不等式：利用函数单调性解不等式（1）已知()f x是在 1，1上的增函数，(1)(13)f xfx，则x的范围是()A12xB102x C12x D102x【答案】B【解析】解：由已知可得11 11 131113xxxx ，解得102x（2）函数()f x为R上的减函数，则满足1(|)ffx（1）的实数x的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(1,1)D(0,1)【答案】A【解析】解：()f x为R上的减函数；由1(|)(1)ffx得，1|1x；解得11x，且0 x；实数x的取值范围为(1，0)(0，1)故选：A（3）若函数()yf x定义在 1，2上，且满足1()2ff（1），则()f x在区间 1，2上是()A增函数B减函数C先减后增D无法判断其单调性【答案】D【解析】解：由1()(1)2ff不能判断：对任意的1x，2 1x ，2，1()f x与2()f x的大小关系；()f x在区间 1，2上是无法判断其单调性的 故选：D例例 4：利用函数单调性求参数范围：利用函数单调性求参数范围/求值域求值域（1）若yax与byx 在(0,)都是增函数，则2yaxbx在(0,)上是()A增函数B减函数C先增后减D先减后增【答案】A【解析】解：根据函数yax与byx 在(0,)都是增函数，可得0a，0b，故函数2yaxbx的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为02bxa，故函数2yaxbx在(0,)上是增函数，（2）函数2()f xmax xx，21x的单调增区间是()A12，0，1，)B(，12，0，1C12，1D0，1【答案】A【解析】解：由221xxx 得2210 xx，解得1x 或12x ，当1x或12x，2()f xmax xx，221xxx，此时函数的递增区域为1，)，当112x，2()f xmax xx，2211xx，此时函数的递增区域为12，0，综上函数的递增区间为12，0，1，)，（3）若函数()|2|f xxa在区间3，)上是增函数，则a的取值范围是【答案】故答案为 6，)【解析】2,2()2,2axa xf xaxa x，()f x在(,)2a 上单调减，在2a，)上单调增，函数()|2|f xxa在区间3，)上是增函数，32a，解得6a（4）已知函数2()22f xxax，5x，5（）当1a 时，求函数()f x的最大值和最小值；（）求实数a的取值范围，使()yf x在区间 5，5上是单调函数【答案】（）1x时，()f x取最小值 1 5x 时，()f x取最大值 37；（）实数a的取值范围为(，55，)【解析】解：（）1a ，22()22(1)1f xxxx；5x，5；1x时，()f x取最小值 1；5x 时，()f x取最大值 37；（）()f x的对称轴为xa；()f x在 5，5上是单调函数；5a，或5a；三、课堂练习三、课堂练习A 类A 类1.已知函数()2|1|f xxx（）根据绝对值和分段函数知识，将()f x写成分段函数；（）在如图的直角坐标系中画出函数()f x的图象：（）根据图象，写出函数()f x的单调区间、值域（不要求证明）【答案】见解析【解析】解：（）2,1()32,1xxf xxx，（）图象如图所示，（）根据图象，写出函数()f x的单调区增区间为 1，)，单调减区间为(,1)，值域为1，)2下列四个函数中，在(,0)上是增函数的是()A21yxB11yx C256yxxD3yx【答案】B【解 析】解：21yx在(,0)上 是 减 函 数，11yx 在(,0)上 是 增 函 数，256yxx在(,0)上是减函数，3yx在(,0)上是减函数3函数254yxx的单调递增区间是()A5,)2B5,4)2C4，)D51,),4,)2【答案】C【解析】解：令254 0 xx，解得：4x或1x，而函数254yxx的对称轴是：52x，由复合函数同增异减的原则，故函数254yxx的单调递增区间是4，)，4.函数()yf x在R上为增函数，且(2)(9)fmfm，则实数m的取值范围是()A(,3)B(0,)C(3,)D(，3)(3，)【答案】C【解析】函数()yf x在R上为增函数，(2)(9)fmfm，29mm，解得3m，5已知()f x为R上的减函数，则满足1()1ffx（1）的实数x的取值范围是()A(,2)B(2,)C(，1)(1，2)D(，1)(2，)【答案】D【解析】解：()f x为R上的减函数；由1()(1)1ffx得：111x；解得1x，或2x；x的取值范围是(，1)(2，)故选：DB 类B 类6已知函数()f x是R上的减函数，(0,2)A，(3,2)B 是其图象上的两点，那么不等式|(2)|2f x 的解集是()A(1,2)B(，1)(4，)C(，1)(2，)D(，3)(0，)【答案】C【解析】解：|(2)|2f x，(2)2f x或(2)2f x ，又(0,2)A，(3,2)B 是其图象上的两点，(0)2f，(3)2f，函数()f x是R上的减函数，23x 或20 x，解得1x 或2x，故选：C7已知函数()23aaf xxx在(1,3)上是减函数，则实数a的取值范围是【答案】实数a的取值范围是(，18【解析】解：根据题意知，0a()f x在(0,)2a上是减函数，又()f x在(1,3)上是减函数32a，解得18a实数a的取值范围是(，188函数423(0)yxxx的最大值是【答案】故答案为：24 3【解析】解：函数423(0)yxxx 42(3)yxx由基本不等式得434 3txx 42(3)24 3yxx故函数423(0)yxxx的最大值是24 39函数(3)4,1()2,1axxf xaxx，是(,)上的单调递减函数，则实 数a的范围是【答案】故答案为：(0，1【解析】解：若()f x在R递减，则30034 2aaaa，解得：01a 四、课后作业四、课后作业 A 类A 类1若函数2()(32)f xkkxb在R上是减函数，则k的取值范围为【答案】故答案为：(1,2)【解析】2320kk，即(1)(2)0kk，解不等式可得12k2下列四个函数中，在(0,)上为增函数的是()A()3f xxB2()3f xxxC2()f xx D1()1f xx【答案】D【解析】解：()3f xx在(0,)上为减函数，A不正确；2()3f xxx是开口向上对称轴为32x 的抛物线，所以它在(0,)上先减后增，B不正确；2()f xx 在(0,)上y随x的增大而减小，所以它为减函数，C不正确；1()1f xx 在(0,)上y随x的增大而增大，所它为增函数，D正确3已知函数()yf x在定义域 2，4上是单调减函数，且(1)(2)f afa，则a的取值范围是()A12a B11a C33a D13a 【答案】A【解析】21 42 2412aaaa，求得12a，4 已 知2()41f xxmx在(，2上 递 减，在 2，)上 递 增，则f（1）【答案】21【解析】二次函数2()41f xxmx的对称轴为28mx 解得16m ，2()4161f xxx，因此f（1）21 答案为 215如果函数2()2(1)2f xxax在区间(，4上是减函数，那么实数a的取值范围是【答案】故答案为3a【解析】对称轴2(1)12 1axa ，在区间(，4上是减函数，可得14a，得3aB 类B 类6函数223yxx的单调减区间是()A(，1B1，)C3，)D(，1【答案】D【解析】223 0 xx 得，1x，或3x；函数223yxx的单调减区间是(，17.已知函数21()1xf xx （）证明：函数()f x在区间(0,)上是增函数；（）求函数()f x在区间1，17上的最大值和最小值【答案】见解析【解析】解：（）设120 xx，则：121221123()33()()11(1)(1)xxf xf xxxxx；120 xx；120 xx，110 x ，210 x ；12123()0(1)(1)xxxx；12()()f xf x；()f x在区间(0,)上是增函数；（）()f x在(0,)上是增函数；最小值为f（1）12，最大值为11(17)6f8若函数29()af xxa在区间 2，)上单调递减，则实数a的取值范围是【答案】(2,3)【解析】2902aa ，即332aa，解得23x，故答案为：(2,3)9已知函数2()(0)f xaxbxc a，满足(0)2f，(1)()21f xf xx（）求函数()f x的解析式；（）求函数()f x的单调区间；（）当 1x，2时，求函数的最大值和最小值【答案】见解析【解析】（）由(0)2f，得2c，又(1)()21f xf xx得221axabx，故221aab，解得：1a，2b ，所以2()22f xxx（）22()22(1)1f xxxx，图象对称轴为1x，且开口向上所以，()f x单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(,1)（）22()22(1)1f xxxx，对称轴为1 1x ，2，故()minfxf（1）1，又(1)5f，f（2）2，所以()(1)5maxfxf10若函数2(2),0()(21)1,0 xa x xf xaxax在R上为增函数，则a取值范围为【答案】故答案为：1，2【解析】解：()f x在(,)内是增函数；根据增函数的定义及一次函数、二次函数的单调性得a满足：2021 0210aaa；解得12a；a的取值范围为1，2