2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册专题3：一元二次不等式讲义 -第二章（含答案）.rar

专题 3：一元二次不等式知识要点1“三个二次”的关系000)的图象ax2bxc0(a0)的根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xb2aRax2bxc0)的解集x|x1x0 时，解形如 ax2bxc0(0)或 ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：求根 ：确定对应方程 ax2bxc0 的解；画图 ：画出对应函数 yax2bxc 的图象简图；写解集 ：由图象得出不等式的解集 2分式不等式的解法：化分式不等式为一元二次不等式 ；注意：转化时，要注意分母不为零 3不等式的恒成立问题(1)判别式法：形如 f(x)0(0)在 xR 上恒成立问题；(2)分离参数法：形如 f(x)0(0)在 xa，b上恒成立问题；(3)转换变量法：形如 f(x)0 在参数 ma，b上恒成立问题.考点自测1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式 ax2bxc0 且方程 ax2bxc0 的两个根是 x1和 x2.()(2)不等式x2x10 的解集是1,2()(3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.()(4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.()2设集合 Mx|x23x40，Nx|0 x5，则 MN 等于()A(0,4 B0,4)C1,0)D(1,0答案B3不等式2x1x2x 的解集为x|1x0 的解集为 R，则 m 的取值范围是_答案：0,1)考题型讲练题型一一元二次不等式的求解命题点 1不含参的不等式例 1求不等式2x2x30 的解集解化2x2x30，解方程 2x2x30 得 x11，x232，不等式 2x2x30 的解集为(，1)(32，)，即原不等式的解集为(，1)(32，)命题点 2含参不等式例 2解关于 x 的不等式：x2(a1)xa1 时，x2(a1)xa0 的解集为x|1xa，当 a1 时，x2(a1)xa0 的解集为，当 a1 时，x2(a1)xa0 的解集为x|ax1变式训练 1：(1)不等式x1x22 的解集为 .答案x|x2 或 x5(2)解关于 x 的不等式：ax2(a1)x10.解若 a0，原不等式等价于x11.若 a0，解得 x1.若 a0，原不等式等价于(x1a)(x1)0.当 a1 时，1a1，(x1a)(x1)1 时，1a1，解(x1a)(x1)0 得1ax1；当 0a1，解(x1a)(x1)0 得 1x1a.综上所述：当 a0 时，解集为x|x1；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a1 时，解集为x|1x1 时，解集为x|1ax1题型二一元二次不等式恒成立问题命题点 1在 R 上恒成立例 3(1)若一元二次不等式 2kx2kx380，则 a 的取值范围是()A(0,4)B0,4)C(0，)D(，4)答案(1)D(2)B命题点 2在给定区间上恒成立例 4若对于 x1,3，mx2mx1m5 恒成立，求 m 的取值范围解要使 mx2mx10，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16(x12)234在1,3上的最小值为67，所以只需 m67即可所以，m 的取值范围是m|m 67.命题点 3给定参数范围的恒成立问题例 5对任意的 k1,1，x2(k4)x42k 的值恒大于零，则 x 的取值范围是_答案x|x3解析x2(k4)x42k0 恒成立，即 g(k)(x2)k(x24x4)0，在 k1,1时恒成立只需 g(1)0 且 g(1)0，即Error!解得 x3.变式训练 2：(1)若不等式 x22x5a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数a 的取值范围为()A1,4 B(，25，)C(，14，)D2,5(2)若对于任意 xm，m1，都有 x2mx10恒成立，则实数 a 的取值范围是_答案 a|a3(2)某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100件若售价降低 x 成(1 成10%)，售出商品数量就增加85x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)若要求一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围解(1)由题意得，y100(1x10)100(1850 x).因为售价不能低于成本价，所以 100(1x10)800.所以 yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为 x0,2(2)由题意得 40(10 x)(254x)10 260，化简得 8x230 x130.解得12x134.所以 x 的取值范围是12，2.考点自测(时间：45 分钟)1不等式(x1)(2x)0 的解集为()Ax|1x2Bx|x1 或 x2Cx|1x2Dx|x2答案A2若不等式 ax2xc0 的解集为x|2x1，则二次函数yax2xc 的图象为()A B C D 答案：B3若 Ax|ax2ax10，则实数 a 的取值范围是()Aa|0a4Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a4答案D4已知不等式 x22x30 的解集为 A，x2x60 的解集是B，不等式 x2axb0 的解集是 AB，那么 ab 等于()A3 B1 C1 D3答案A5 若不等式 mx22mx42x24x 对任意 x 都成立，则实数 m的取值范围是()A(2,2 B(2,2)C(，2)2，)D(，2答案A6不等式2x1x51 的解集为_答案：Error!7若 0a0 的解集是_答案x|ax0 的解集为x|12x13，则不等式 2x2bxa0 的解集是_答案x|2x39已知：关于 x 的不等式4xmx22x32 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是 答案：m210当 1x2 时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是_ 答案：m511关于 x 的不等式组Error!的整数解的集合为2，则实数k 的取值范围是 .答案：3k0 恒成立，求 x 的取值范围解将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x3)ax26x90.令 f(a)(x3)ax26x9.因为 f(a)0 在|a|1 时恒成立，所以(1)若 x3，则 f(a)0，不符合题意，应舍去(2)若 x3，则由一次函数的单调性，可得Error!即Error!解得 x4.所以 x 的取值范围是x|x413已知：当2x2 时，x2ax3a 恒成立，求 a 的取值范围解：当 x2,2时，设 g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图(1)，当 g(x)的图象恒在 x 轴上方，满足条件时，有 a24(3a)0，即6a2.如图(2)，g(x)的图象与 x 轴有交点，但在 x2，)时，g(x)0，得 a.如图(3)，g(x)的图象与 x 轴有交点，但在 x(，2时，g(x)0，即7a6.综合，得7a2专题 3：一元二次不等式知识要点1“三个二次”的关系000)的图象ax2bxc0(a0)的根x1，x2(x10(a0)的解集ax2bxc0)的解集注意：一元二次不等式的解法：法：一般地，当 a0 时，解形如 ax2bxc0(0)或 ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分为三步：确定对应方程 的解；：画出对应函数 的图象简图；：由图象得出不等式的 2分式不等式的解法：化分式不等式为 ；注意：转化时，要注意 3不等式的恒成立问题(1)判别式法：形如 f(x)0(0)在 xR 上恒成立问题；(2)分离参数法：形如 f(x)0(0)在 xa，b上恒成立问题；(3)转换变量法：形如 f(x)0 在参数 ma，b上恒成立问题.考点自测1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若不等式 ax2bxc0 且方程 ax2bxc0 的两个根是 x1和 x2.()(2)不等式x2x10 的解集是1,2()(3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R.()(4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.()2设集合 Mx|x23x40，Nx|0 x5，则 MN 等于()A(0,4 B0,4)C1,0)D(1,03不等式2x1x2x 的解集为x|1x0 的解集为 R，则 m 的取值范围是_考题型讲练题型一一元二次不等式的求解命题点 1不含参的不等式例 1求不等式2x2x30 的解集命题点 2含参不等式例 2解关于 x 的不等式：x2(a1)xa0.变式训练 1：(1)不等式x1x22 的解集为 .(2)解关于 x 的不等式：ax2(a1)x10.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点 1在 R 上恒成立例 3(1)若一元二次不等式 2kx2kx380，则 a 的取值范围是()A(0,4)B0,4)C(0，)D(，4)命题点 2在给定区间上恒成立例 4若对于 x1,3，mx2mx1m5 恒成立，求 m 的取值范围命题点 3给定参数范围的恒成立问题例 5对任意的 k1,1，x2(k4)x42k 的值恒大于零，则 x 的取值范围是_变式训练 2：(1)若不等式 x22x5a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数a 的取值范围为()A1,4 B(，25，)C(，14，)D2,5(2)若对于任意 xm，m1，都有 x2mx10恒成立，则实数 a 的取值范围是_(2)某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100件若售价降低 x 成(1 成10%)，售出商品数量就增加85x成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)若要求一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围考点自测(时间：45 分钟)1不等式(x1)(2x)0 的解集为()Ax|1x2Bx|x1 或 x2Cx|1x2Dx|x22若不等式 ax2xc0 的解集为x|2x1，则二次函数yax2xc 的图象为()A B C D 3若 Ax|ax2ax10，则实数 a 的取值范围是()Aa|0a4Ba|0a4Ca|0a4 Da|0a44已知不等式 x22x30 的解集为 A，x2x60 的解集是B，不等式 x2axb0 的解集是 AB，那么 ab 等于()A3 B1 C1 D35 若不等式 mx22mx42x24x 对任意 x 都成立，则实数 m的取值范围是()A(2,2 B(2,2)C(，2)2，)D(，26不等式2x1x51 的解集为_7若 0a0 的解集是_8若不等式 ax2bx20 的解集为x|12x13，则不等式 2x2bxa0 的解集是_9已知：关于 x 的不等式4xmx22x32 对任意实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是 10当 1x2 时，不等式 x2mx40 恒成立，求 x 的取值范围13已知：当2x2 时，x2ax3a 恒成立，求 a 的取值范围