2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册专题2：基本不等式 讲义 -第二章（含答案）.rar

专题 2：基本不等式知识要点1基本不等式：ab ab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0 ；(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号注意：(1)ab2和ab分别叫 a，b 的算术平均数和几何平均数；(2)两种重要变形：ab2ab ；ab(ab2)2 ；2利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，则 xy2ab ，那么当且仅当 xy 时，和 xy 有最小 值 2p.(简记：积定和最小 )(2)如果和 xy 是定值 p，则 xy(ab2)2，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大 值p24.(简记：和定积最大 )3几个重要的不等式(1)a2b2 2ab (a，bR)；(2)baab2 (a，b 同号)；(3)a2b22ab2ab21a1b(a0，b0)注意：以上不等式都是当且仅当 ab 时等号成立考点自测1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 yx1x的最小值是 2.()(2)当 x1 时，函数 yx1x的最小值等于 2.()(3)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要条件()(4)若 a0，则 a31a2的最小值为 2a.()2设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C3 若函数 yx1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A12B13C3 D4答案C4若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_答案25 m25已知 x，yR，且 x4y1，则 xy 的最大值为_答案116题型讲练题型一利用基本不等式求最值命题点 1配凑法求最值例 1(1)已知 x1)的最小值为_答案(1)1 (2)232命题点 2“1”字代换法求最值例 2(1)已知 x0，y0，且1x9y1，则 xy 的最小值为 .(2)已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是 .答案(1)16 (2)92命题点 3换元法求最值例 3(1)函数 yx1x3 x1的最大值为_(2)已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_答案(1)15 (2)6变式训练 1：(1)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()A245B285C5D6(2)已知 0 x0，b0，若不等式3a1bma3b恒成立，则 m的最大值为()A9 B12 C18 D24(2)若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (1)B (2)a15变式训练 2：(1)当 x0，求证：a2bb2cc2aabc.证明：a，b，c，a2b，b2c，c2a均大于 0，a2bb2a2bb2a.当且仅当a2bb 时等号成立b2cc2b2cc2b.当且仅当b2cc 时等号成立c2aa2c2aa2c，当且仅当c2aa 时等号成立相加得a2bbb2ccc2aa2a2b2c，a2bb2cc2aabc.变式训练 3：(1)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 现有 36 m 长的钢筋网材料，则每间虎笼的长=，宽=时，可使每间虎笼面积最大，最大面积为 .答案 长为 4.5 m，宽为 3 m 时，面积最大272.(2)已知 a0，b0，ab1，求证：(11a)(11b)9.证明：因为 a0，b0，ab1，所以 11a1aba2ba.同理 11b2ab.所以(11a)(11b)(2ba)(2ab)52(baab)549.所以(11a)(11b)9(当且仅当 ab12时等号成立)课后练习(时间：45 分钟)1下列不等式中，一定正确的是()Aa4a4Ba2b24abCabab2 Dx23x223答案：D2已知 x0，y0，xy3，若1xmy(m0)的最小值为 3，则 m等于()A2 B22 C3 D4答案 D3若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是()A1ab14 B1a1b1Cab2 Da2b28答案D4正数 a，b 满足 ab2，则1a14b1的最小值是()A1 B94C9 D16答案 B5设 a0，b0，且不等式1a1bkab0 恒成立，则实数 k 的最小值等于()A0B4C4D2答案 C6若 yx1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于 .答案37已知 x，y0，且 4x3y12，则 xy 的最大值为_答案：38设 0 x0，所以要使 4abc 恒成立，c 的取值范围为 01)的最小值解析x1，x10.yx27x10 x1x125x14x1(x1)4x152 x14x159.当且仅当 x14x1，即 x1 时，等号成立当 x1 时，函数 yx27x10 x1(x1)的最小值为 9.专题 2：基本不等式知识要点1基本不等式：ab2(1)基本不等式成立的条件：；(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号注意：(1)ab2和ab分别叫 a，b 的 和 ；(2)两种重要变形：ab ；ab ；2利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，则 xy ，那么当且仅当 时，和 xy 有最 值 2p.(简记：)(2)如果和 xy 是定值 p，则 xy ，那么当且仅当 时，xy 有最 值p24.(简记：)3几个重要的不等式(1)a2b2 (a，bR)；(2)baab (a，b )；(3)a2b22ab2ab21a1b(a0，b0)注意：以上不等式都是当且仅当 时等号成立考点自测1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数 yx1x的最小值是 2.()(2)当 x1 时，函数 yx1x的最小值等于 2.()(3)“x0 且 y0”是“xyyx2”的充要条件()(4)若 a0，则 a31a2的最小值为 2a.()2设 x0，y0，且 xy18，则 xy 的最大值为()A80 B77 C81 D823 若函数 yx1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A12B13C3 D44若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_5已知 x，yR，且 x4y1，则 xy 的最大值为_题型讲练题型一利用基本不等式求最值命题点 1配凑法求最值例 1(1)已知 x1)的最小值为_命题点 2“1”字代换法求最值例 2(1)已知 x0，y0，且1x9y1，则 xy 的最小值为 .(2)已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是 .命题点 3换元法求最值例 3(1)函数 yx1x3 x1的最大值为_(2)已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_变式训练 1：(1)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()A245B285C5D6(2)已知 0 x0，b0，若不等式3a1bma3b恒成立，则 m的最大值为()A9 B12 C18 D24(2)若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 变式训练 2：(1)当 x0，求证：a2bb2cc2aabc.变式训练 3：(1)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 现有 36 m 长的钢筋网材料，则每间虎笼的长=，宽=时，可使每间虎笼面积最大，最大面积为 .(2)已知 a0，b0，ab1，求证：(11a)(11b)9.课后练习(时间：45 分钟)1下列不等式中，一定正确的是()Aa4a4Ba2b24abCabab2 Dx23x2232已知 x0，y0，xy3，若1xmy(m0)的最小值为 3，则 m等于()A2 B22 C3 D43若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是()A1ab14 B1a1b1Cab2 Da2b284正数 a，b 满足 ab2，则1a14b1的最小值是()A1 B94C9 D165设 a0，b0，且不等式1a1bkab0 恒成立，则实数 k 的最小值等于()A0B4C4D26若 yx1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于 .7已知 x，y0，且 4x3y12，则 xy 的最大值为_8设 0 x1)的最小值