第8讲 幂函数与函数应用 讲义（学生版+教师版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第 8 讲 幂函数与函数应用玩前必备1.幂函数(1)定义：形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较 函数特征性质yxyx2yx3y12xyx1定义域RRR0，)x|xR 且 x0值域R0，)R0，)y|yR 且 y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，)时，减；x(，0)时，减(4)幂函数的共性0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；(m2m1)12，则实数 m 的取值范围是()A.(，512 B.512，)C(1,2)D.512，2)例 4比较下列各组数中两个数的大小：(1)(13)21与(14)21；(2)(23)1与(35)1；(3)0.2541与 6.2541；(4)0.20.6与 0.30.4.223()()mmf xxm(0,)m()f x22mx玩转跟踪1.如图是幂函数 yxm与 yxn在第一象限内的图象，则()A.1n0m1B.n1,0m1C.1n0，m1D.n1，m12.若(a1)12(32a)12，则实数 a 的取值范围是_3比较下列各组数的大小：(1)(23)0.5与(35)0.5；(2)3.143与3；(3)(12)43与(34)21.题型三 幂函数综合应用例 5（2021福建仙游一中高一开学考试）若幂函数在其定义域上是增函数.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.221()(22)mf xmmx()f x2(2)(4)faf aa玩转跟踪1（2021湖南高一月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值题型四 函数应用模型的考查例 6经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)，前 30 天价格为 g(t)12t30(1t30，tN)，后 20 天价格为 g(t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；(2)求日销售额 S 的最大值 225222kkf xmmxk Z0,f x212fxfxxababR237abm3211ab例 7（2021峨山彝族自治县）如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为 1000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米，设休闲区的长为x米（1）求矩形所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？玩转跟踪1.（2020全国高一课时练习）某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每提高 1 元，租不出去的自行车就增加 3 辆旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于 3 元并且不超过 20 元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)（1）求函数的解析式；（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？2.（2021肇庆市外国语学校高一月考）ABCD1111DCBA1111DCBAABCD1111DCBA yf x围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（）将y表示为x的函数；（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用玩转练习1（2020浙江高一课时练习）5 个幂函数：；.其中定义域为的是（）A只有B只有C只有D只有2.（新教材人教版必修第一册）幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是（）A-1，+)B0，+)C(-，+)D(-，0)3（2021务川仡佬族苗族自治县汇佳中学高一期末）下列函数既是幂函数又是偶函数的是（）ABCD4（2021河北高一期末）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（）ABC1D或 12yx-=45yx54yx23yx45yxR32()3f xx()f xx41()f xx3()f xx 221()1mf xmmx0,2125（2021山东高一期末）已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范围为_6（2021湖南师大附中高一月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为_.7（2021辽宁庄河高中高一开学考试）若幂函数的图象不经过坐标轴，则实数m的值为_.8（2021 年湖南）若函数为幂函数，则实数的值为_；当此幂函数在单调递减，则实数的值为_9（2021山西高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值；（2）求函数在的值域.10（2020浙江高一课时练习）已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.11.（2021成都市田家炳中学高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售,8a 1bf xax 1 30f mfmm2()(1)mf xmmx222=33mmymxm222433mmymmxm0,m 2151mh xmmxm 12g xh xx11,2x 21322()()ppf xxp N(0,)()f x()f x()()(21)()1g xqf f xqf x(0)q q()g x(,4(4,0)的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为G()（万元），其中固定成本为 2 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R()（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:（1）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？12.（2021湖北高一期末）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产 万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到 0.01）.xxx20.44.20.8(05)()10.2(5)xxxR xxx(0,10)x xx1264tkxk0.5,1k t(20950)xtyx0,10 xk第 8 讲 幂函数与函数应用玩前必备1.幂函数(1)定义：形如 yx(R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较 函数特征性质yxyx2yx3y12xyx1定义域RRR0，)x|xR 且 x0值域R0，)R0，)y|yR 且 y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x0，)时，增；x(，0时，减增增x(0，)时，减；x(，0)时，减(4)幂函数的共性0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；(m2m1)12，则实数 m 的取值范围是()A.(，512 B.512，)223()()mmf xxm(0,)2230mm31,2m,mZ0m 1.0m 3(),f xx()f x1m 2(),f xx()f x2().f xx22mxC(1,2)D.512，2)答案 D解析(1)因为函数 yx12的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于Error!解 2m10，得 m12；解 m2m10，得 m512或 m512.解 2m1m2m1，得1m2，综上所述，512m2.例 4比较下列各组数中两个数的大小：(1)(13)21与(14)21；(2)(23)1与(35)1；(3)0.2541与 6.2541；(4)0.20.6与 0.30.4.解(1)yx21是0，)上的增函数，且1314，(13)21(14)21.(2)yx1是(，0)上的减函数，且2335，(23)1(35)1.(3)0.2541(14)41221，6.25412.521yx21是0，)上的增函数，且 22.5，2212.521，即 0.25416.2541.(4)由幂函数的单调性，知 0.20.60.30.6，又 y0.3x是减函数，0.30.40.30.6，从而 0.20.60.30.4.玩转跟踪1.如图是幂函数 yxm与 yxn在第一象限内的图象，则()A.1n0m1B.n1,0m1C.1n0，m1D.n1，m1答案B解析在(0,1)内取同一值 x0，作直线 xx0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有 0m1，n1.2.若(a1)12(32a)12，则实数 a 的取值范围是_答案(1)1(2)1，23)解析(1)易知函数 yx12的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以Error!解之得1a23.3比较下列各组数的大小：(1)(23)0.5与(35)0.5；(2)3.143与3；(3)(12)43与(34)21.解(1)yx0.5在0，)上是增函数且2335，(23)0.5(35)0.5.(2)yx3是 R 上的增函数，且 3.14，3.1433，3.1433.(3)y(12)x是减函数，(12)43(12)21.yx21是0，)上的增函数，(34)21(12)21.(34)21(12)43.题型三 幂函数综合应用例 5（2021福建仙游一中高一开学考试）若幂函数在其定义域上是增函数.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又是增函数，即，则；（2）因为为增函数，所以由可得，解得或的取值范围是或.221()(22)mf xmmx()f x2(2)(4)faf aa3()f xx2a a 3a 221()(22)mf xmmx2221mm32m 1m()f x210m 12m 1m3()f xx()f x2(2)(4)faf a224aa2a 3a a2a a 3a 玩转跟踪1（2021湖南高一月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）2【解析】（1），（）即或在上单调递增，为偶函数即（2），（3）由题可知，当且仅当，即，时等号成立所以的最小值是 2题型四 函数应用模型的考查例 6经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)2t200(1t50，tN)，前 30 天价格为 g(t)12t30(1t30，tN)，后 20 天价格为 g(t)45(31t50，tN)(1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；(2)求日销售额 S 的最大值解(1)根据题意得 SError!225222kkf xmmxk Z0,f x212fxfxxababR237abm3211ab 2f xx1,12221mm1m2520kk502kk Z1k 2 f x0，f x2k 2f xx212212fxfxfxfx212xx22(21)(2)xx21x 1,1x 237ab11213112164abab1132323111112211641141314abbaababab 3112314131baabab2a1b 3211ab即 SError!(2)当 1t30，tN 时，S(t20)26 400，当 t20 时，S 的最大值为 6 400.当 31t50，tN 时，S90t9 000 为减函数，当 t31 时，S 的最大值是 6 210.因为 6 2106 400，所以当 t20 时，日销售额 S 有最大值 6 400.例 7（2021峨山彝族自治县）如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为 1000 平方米，人行道的宽分别为 4 米和 10 米，设休闲区的长为x米（1）求矩形所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？【答案】（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为米，米.【解析】（1）因为休闲区的长为x米，休闲区的面积为 1000 平方米，所以休闲区的宽为米；从而矩形长与宽分别为米米，因此矩形所占面积，（2）当且仅当时取等号，此时因此要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别为米，米.玩转跟踪1.（2020全国高一课时练习）某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超过 6 元，则每提高 1 元，租不出去的自行车就增加 3 辆旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于 3 元并且不超过 20 元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)（1）求函数的解析式；ABCD1111DCBA1111DCBAABCD1111DCBA1000(20)(8),(0)Sxxx1111DCBA50201111DCBA1000 xABCD20 x1000,8xABCD1000(20)(8),(0)Sxxx10002000020000(20)(8)116081160281960Sxxxxxx200008,50 x xx100020 x1111DCBA5020 yf x（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【答案】（1）；（2）日租金定为元时，日净收入最多，为元.【解析】（1）由题知：当时，令，解得，因为，所以，.当时，.所以.（2）当，且时，为增函数，所以元.当，且时，当时，元.综上所述，当每日自行车日租金定为元时，日净收入最多，为元.2.（2021肇庆市外国语学校高一月考）围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）设修建此矩形场地围墙的总费用为y.（）将y表示为x的函数；（）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【答案】（）y=225x+250115,36,368115,620,xxxNf xxxxxN112706x 50115f xx501150 x2.3xxN36xxN620 x 25036115368115 f xxxxx620 xxN 250115,36,368115,620,xxxNf xxxxxN36xxN 50115f xx max6185f xf620 xxN 2234811368115333 f xxxx11x max270f x112702360360(0)xx（）当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为 a m则45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360由已知 xa=360,得 a=,所以 y=225x+（2）当且仅当 225x=时，等号成立即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元玩转练习1（2020浙江高一课时练习）5 个幂函数：；.其中定义域为的是（）A只有B只有C只有D只有【答案】C【解析】的定义域为，的定义域为R，的定义域为，的定义域为R，的定义域为，故选：C.2.（新教材人教版必修第一册）幂函数的图象过点(3，)，则它的单调递增区间是（）A-1，+)B0，+)C(-，+)D(-，0)【答案】B【解析】设幂函数为f(x)=x，因为幂函数的图象过点(3，)，所以f(3)=3=，解得=，所以f(x)=，所以幂函数的单调递增区间为0，+).故选：B3（2021务川仡佬族苗族自治县汇佳中学高一期末）下列函数既是幂函数又是偶函数的是（）2yx-=45yx54yx23yx45yxR2yx-=(,0)(0,)45yx54yx(0,)23yx45yx(,0)(0,)3331231212xABCD【答案】C【解析】幂函数的图象都经过点，排除 A；与不是偶函数，排除 B，D.故选:C4（2021河北高一期末）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（）ABC1D或 1【答案】A【解析】由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，故选：A5（2021山东高一期末）已知点在幂函数的图象上，若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】因为为幂函数，所以，解得a=2所以，又在上，代入解得，所以，为奇函数因为，所以，因为在R上为单调增函数，所以，解得，故答案为：6（2021湖南师大附中高一月考）已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为_.【答案】【解析】由于是幂函数，所以，解得或.当时，图象关于轴对称，符合题意.当时，图象关于原点对称，不符合题意.所以的值为.2()3f xx()f xx41()f xx3()f xx(1,1)()f xx3()f xx 221()1mf xmmx0,212 f x2112mmm 1m f x0,2m,8a 1bf xax 1 30f mfmm1,2 1bf xax1 1a()bf xx(2,8)()f x3b3()f xx 1 30f mfm()(1 3)(31)f mfmfm 3()f xx31mm12m 1,22()(1)mf xmmx2 f x211mm 2m 1m 2m 2f xxy1m 11xxfxm2故答案为：7（2021辽宁庄河高中高一开学考试）若幂函数的图象不经过坐标轴，则实数m的值为_.【答案】1 或 2【解析】由题意得：，解得：m=1 或 2，故答案为：1 或 2.8（2021 年湖南）若函数为幂函数，则实数的值为_；当此幂函数在单调递减，则实数的值为_【答案】或 【解析】由幂函数定义知：，解得：或；当时，此时幂函数在单调递减；当时，此时幂函数在单调递增；当幂函数在单调递减时，.故答案为：或；.9（2021山西高一期末）已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值；（2）求函数在的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，解得或.即或.又因为函数为奇函数，所以，.（2），2222=33mmymxm2233120mmmm222433mmymmxm0,m1212331mm1m 21m 2241mm 0,2m 2244mm0,0,1m 121 2151mh xmmxm 12g xh xx11,2x 0m 1,12 2151mh xmmx2511mm 0m 5m h xx 6h xx h x h xx0m 1 21 2g xh xxxx设，因为，所以，.所以，当时，当时，故值域为.10（2020浙江高一课时练习）已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p的值，并写出相应的函数的解析式.（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出q；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当或时，；当时，；（2）存在，.【解析】（1）由于已知在上是增函数，因而，解得.又，因而或 1 或 2.当或时，不是偶函数；当时，符合题意.（2）存在.理由如下：由（1）知.由于，因而当时，此时，函数单调递减，而函数在上单调递减，则外层函数在上单调递增；当时，此时，函数单调递增，而函数在上单调递减，则外层函数在上单调递减.所以，即.12tx11,2x 0,3t212tx22111122tytt 1t max1y0t min12y1,1221322()()ppf xxp N(0,)()f x()f x()()(21)()1g xqf f xqf x(0)q q()g x(,4(4,0)0p 2p 32()f xx1p 2()f xx130()f x(0,)213022pp13p pN0p 0p 2p 32()f xx1p 2()f xx2()()(21)()1()(21)()1g xqf f xqf xqfxqf x 2()0f xx(,4x 2()16,)f xx()g x()tf x(,4 2(21)1yqtqt 16,)(4,0)x2()(0,16)f xx()g x()tf x(4,0)2(21)1yqtqt(0,16)211620qqq 130q 所以存在满足题设条件.11.（2021成都市田家炳中学高一月考）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（百台），其总成本为G()（万元），其中固定成本为 2 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R()（万元）满足：，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律:（1）要使工厂有赢利，产量应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？【答案】（1）产品应控制在大于 100 台，小于 820 台的范围内；（2）当工厂生产 400 台产品时，赢利最多【解析】依题意，.设利润函数为，则.（1）要使工厂有赢利，即解不等式，当时，解不等式即.，当时，解不等式，得，综上所述，要使工厂赢利，应满足，即产品应控制在大于 100 台，小于 820 台的范围内（2）时，故当时，有最大值 3.6.而当时，所以，当工厂生产 400 台产品时，赢利最多.12.（2021湖北高一期末）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产 万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到 0.01）.【答案】（1），；（2）；（3）130q xxx20.44.20.8(05)()10.2(5)xxxR xxx()2G xx()f x20.43.22.8(05)()()()8.2(5)xxxf xR xG xx x()0f x 05x20.43.22.80 xx2870 xx17x15x5x 8.20 x 8.2x58.2xx18.2x05x2()0.4(4)3.6f xx 4x()f x5x()8.253.2f x(0,10)x xx1264tkxk0.5,1k t(20950)xtyx0,10 xk3601808204kykxx0,10 x0.5,1k 3 54k 0.65【解 析】（1）由 题 意，即，.（2），因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，不等式整理得，令，则，则，由函数在上单调递增，可得，所以，即.所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.80(20950)yxtxt30820tx123068204kxx3601808204kkxx3601808204kykxx0,10 x0.5,1k 36045180820180128444kkykxkxxx0,10 x4414x45454246 544kkxxkxx4544kxx3 54xk4518012841801248 54kykxkkx3 54k 1801248 5kk0,10 x36018082004kkxx0,10 x20841802xxkx2mx2,12m208484288202xxmmmxmm 8820h mmm2,12 max82128 1220116123h mh 21801163k 211630.65180kk0.650,10 x