第四章指数函数与对数函数4.4.3不同函数增长的差异 ppt课件（含导学案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数4.4.3 不同函数增长的差异一、教学目标1、通过一些函数图象的分析，了解不同函数的增长问题；2、了解直线型函数与曲线型函数的变化趋势，为数学建模做准备；3、在数学建模的学习过程中,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度.二、教学重点、难点教学重点：掌握不同函数的增长变化的分析方法.教学难点：实际问题的简单数学建模.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【问题回顾】通过学习，我们遇见实际问题时，可以利用相关函数来建立数学模型加以解决.【一次函数一次函数的数学模型】为响应绿色出行，越来越多市民选择租用共享单车出行.已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y(单位：元)与骑行时间x(单位：时)之间的函数关系，李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定，选择哪种支付方式比较划算.解：设手机支付金额1y与骑行时间x的函数关系式为1(0)ykxb k，由图，将(0.5,0),(1,0.5)代入解得1,0.5kb，所以10.5yx设会员卡支付金额2y与骑行时间x的函数关系式为2(0)ykxb k，由图易知20.75yx，联立0.50.75yxyx，解得21.5xy所以当02x时，选择手机支付比较划算；当2x 时，选择手机支付或会员卡支付一样；当2x 时，选择会员卡支付比较划算；【指数函数指数函数的数学模型】有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在 2015 年约为 400 万吨，2016 年的年增长率为 50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从_年开始，快递行业产生的包装垃圾超过 4 000 万吨.(参考数据：lg20.3010,lg30.4771)解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从 2015 年开始增加的年份的数量，依题意可得400(1 50%)ny，即3400()2ny 由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过 4 000 万吨，所以34000400()2n，即3()102n，所以3lglg102n，即16lg3lg2n 所以从 2015+62021 年开始，快递行业产生的包装垃圾超过 4 000 万吨.答案：2021【对数函数对数函数的数学模型】有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301loglg2100 xvx，单位是 km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0 x代表测量过程中该类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：1.21.4lg20.3010,33.74,34.66).（1）当02x，候鸟每分钟的耗氧量为 8 100 个单位时，候鸟的飞行速度是多少 km/min?（2）当05x，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？（3）若雄鸟的飞行速度为 2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为 1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？解：（1）依题意02,8100 xx，318100loglg22lg21.72100v 所以此时候鸟的飞行速度为 1.7 km/min.（2）依题意，当候鸟停下休息时，它的速度是00,5vx，可得310loglg52100 x 即3log2lg52(1 lg2)1.4100 x，所以1.434.66100 x，即466x 所以候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为 466 个单位.（3）设雄鸟的耗氧量为1x，雌鸟的耗氧量为2x，依题意得13023012.5loglg210011.5loglg2100 xxxx 化简得123311(loglog)2100100 xx，即132log2xx，129xx所以此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 9 倍.【问题探究】一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映，因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.（二）阅读精要，研讨新知（二）阅读精要，研讨新知下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.1、指数函数与一次函数在区间1、指数函数与一次函数在区间0,)上的增长差异.上的增长差异.选取对象，函数2xy 和函数2yx利用信息技术，列出上述两个函数的自变量x与函数值y的对应值表(表 4.4-3),并在 同一直角坐标系中面出它们的图象(图 4.4-5)，【函数图象分析函数图象分析】可以看到，函数2xy 和2yx的图象有两个交点(1,2),(2,4).在区间0,1)上，函数2xy 的图象位于2yx的图象之上，22xx；在区同(1,2)上，函数2xy 的图象位于2yx的图象之下，22xx；在 区间(2,3)上，函数2xy 的图象位于2yx的图象之上，22xx，这表明，虽然这两个函数在0,)上都单调通增，但它们的增长速度不同，函数2yx的增长速度保持不变，而函数2xy 的增长速度在变化.下面在更大的范围内，观察2xy 和2yx的增长情况.从表 4.4-4 和图 4.4-6 可以看到，当自变量x越来越大时，2xy 的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数2yx的增长速度依然保持不变，与函数2xy 的增长速度相比几乎微不足道.【综合结论综合结论】综上所述，虽然函数2xy 与2yx在区间0,)上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，2xy 的增长速度越来越快，会超过并远远大于2yx的增长速度，尽管在x的一定变化范围内，2x会小于2x，但由于2xy 的增长最终会快于2yx的增长，因此，总会存在一个0 x，当0 xx时，恒有22xx.一般地，指数函数一般地，指数函数(1)xyaa与一次函数 与一次函数(0)ykx k的增长差异都与上述情况类似，即使的增长差异都与上述情况类似，即使k的值远远大于的值远远大于a的值，的值，(1)xyaa的增长速度最终都会大大超过的增长速度最终都会大大超过(0)ykx k增长.增长.2、对数函数与一次函数在区间2、对数函数与一次函数在区间(0,)上的增长差异.上的增长差异.选取对象，函数lgyx和函数110yx.利用信息技术，列出上述两个函数的自变量x与函数值y的对应值表(表 4.4-5)，并在 同一直角坐标系中画出它们的图象(图 4.4-7).【函数图象分析函数图象分析】可以看到，虽然它们在(0,)上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异，函数110yx的增长速度保持不变，而lgyx的增长速度在变化，随着x的增大，函数110yx的图象离x轴 越 来 越 远，而 函 数lgyx的 图 象 越 来 越 平 缓，就 像 与x轴 平 行 一 样.例 如lg101,lg1002,lg10003，lg100004，而1111101,10010,1000100,10000100010101010.这说明，当10 x，即lglg101yx时，lgyx与110yx相比，增长就很慢了.【综合结论综合结论】一般地，虽然对数函数log(1)ayx a与一次函数(0)ykx k在区间(0,)上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数(0)ykx k保持固定的增长速度，而对数函数log(1)ayx a的增长速度越来越慢，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个0 x，当0 xx时，恒有logaxkx.【小组互动】完成课本139P练习 1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟1.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的汽车参与自驾游，其行车时间均为x小时，行使的路程分别满足关系式：212334(),()4,()log(1),()21xf xxfxx fxxfx，则 5 个小时以后行使在最前面的为()A甲 B乙 C丙 D丁解：方法一：分别作出四个函数的图象(图略)，利用数形结合，知 5 个小时后丁车在最前面故选 D方法二：由于 4 个函数均为增函数，且123334(5)25,(5)20,(6)log 61 log 2,(5)31ffff，4(5)f最大，所以 5 个小时后丁车在最前面，故选 D.2 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数()yf x 的图象大致为()解：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得(1 10.4%)yaxa，故1.104log(1)yx x，函数为对数函数，所以函数()yf x的图象大致为 D 中图象，故选 D.3.某品牌为了实现 60 万元的利润目标，准备制定一个奖励方案：在利润达到 5 万元时，按利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不超过利润的 20%，现有三个奖励模型：50.2,log,1.02xyx yx y，其中哪个模型符合该品牌的要求？解：在同一坐标系中作出函数50.2,log,1.02xyx yx y的图象(如图所示)观察图象可知，在区间5,60上，0.2,1.02xyx y的图象都有一部分在直线3y 的上方，只有5logyx的图象始终在3y 和0.2yx的下方，这说明只有按模型5logyx进行奖励才符合品牌的要求4.某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入 21 世纪以来，该产品的产量平稳增长记 2015 年为第 1 年，且前 4 年中，第x年与年产量()f x(万件)之间的关系如下表所示：x1234()f x4.005.587.008.44若()f x近似符合以下三种函数模型之一：12(),()2,()logxf xaxb f xa f xxa.（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取 2015 年和 2017 年的数据求出相应的解析式；（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021 年的年产量比预计减少 30%，试根据所建立的函数模型，确定 2021 年的年产量解：（1）若模型为()2xf xa，则由1(1)24fa得2a，所以()22xf x，此时(2)6,(3)10,(4)18fff，与已知相差太大，不符合若模型为12()logf xxa，则()f x是减函数，与已知不符合所以符合条件的是()f xaxb，由已知得437abab，解得35,22ab所以35(),22f xxxN.（2）2021 年预计年产量为35(7)71322f，依题意，2021 年实际年产量为13(1 30%)9.1因此，最适合的函数模型解析式为35(),22f xxxN，2021 年的年产量为 9.1 万件（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点三类常见不同函数增长的差异三类常见不同函数增长的差异性质 函数(0)ykx k(1)xyaalog(1)ayx a单调性单调递增增长速度不变先慢后快先快后慢图象变化随着x的增大，图象均匀上升随着x的增大，图象上升的速度逐渐变快，当x很大时，呈“爆炸式”增长随着x的增大，图象上升的速度逐渐变慢三个函数值的差异总会存在一个0 x，当0 xx时，恒有log(1,0)xaxkxaak.（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基1.完成课本141P习题 4.4 112.预习课本142P 4.5 函数的应用（二）五、教学反思：（课后补充，教学相长）4.4.3 不同函数增长的差异第四章 指数函数与对数函数 目录 CONTENT（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（二）研讨新知（二）研讨新知，典型示例，典型示例 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基A good beginning is half done良好的开端是成功的一半