1、4.5函数的应用(二)4.5.1函数和零点和方程的解引 入 在前面，我们通过一些实例，初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律基本方法.在本节中，我们将先学习运用函数的性质求方程近似解的方法，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，用模型思想发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的方法。那么，我们为什么要学习运用函数的性质来求方程近似解呢(注意:不是”准确解”)?主要有以下几个方面的原因：1.用数学解决实际问题时，经常需要解方程，这没办法回避；2.从现实生活中抽象出的方程往往是很难得出准确解的;事实上，就整式方程而言，五次及五次以上方程就没有一般
2、解法了(在19世纪挪威数学家阿贝尔已经证明)，更不要说指数方程、对数方程等超越方程.3.从实用的角度来看，一定精度的解也是完全可以满足需要的.知识探究 我们已经学习过用二次函数的观点来认识一元二次方程和不等式，知道一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的解就是对应二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的零点.问题1:完成下列表格.验证方程的根，对应函数的零点，以及函数图象与x轴的交点的关系，并说说什么是函数的零点？一元二次方程方程 x22x3=0 x22x+1=0 x22x+3=0 方程的根二次函数函数的零点函数的图象以及与x轴的公共点x1=-1,x2=3x1=x2=1没有实数解y=x22
3、x3y=x22x+1y=x22x+3-1,31没有零点(-1,0)(3,0)(1,0)问题2:类比二次函数的零点，对于一般函数 y=f(x)，你能说说什么是函数 y=f(x)的零点吗？对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0的实数解函数y=f(x)的零点方程f(x)=0的实数根数形同有无，值相等，个相同。2.函数的零点与方程的根，函数图象与轴公共点的横坐标的关系：1.概念：返回例 析21.(1)()lg2;(2)()1;(3)()2|6;(4)()412.xf xxf xef xxf xxx 例 求下列函数的零点：（1）由f(x)=0得 l
4、gx-2=0,即lgx=2 解得x=100函数的零点为100.（2）由f(x)=0得 ex-1=0,即ex=1 解得x=0函数的零点为0.（3）由f(x)=0得 -2|x|+6=0,解得x=-3或3函数的零点为-3和3.（4)由f(x)=0得 x2-4x-12=0,即(x-6)(X+2)=0 解得x=6或x=-2函数的零点为-2和6.解:思考4:结合函数零点的几何意义，你还能想用别的方法来求零点吗？根据函数 f(x)的的图象和性质，得出 f(x)的图象与x轴交点的横坐标。1.写出下列函数的零点：(1)()21;f xx 2(2)()lg(22);f xxx -1，3练习12|1|22,1,2.
5、()()ln|1,1,.0,.-2,-.0,-.-2,xxf xxxAeBeCeDe 函数 的零点组成的集合是 ()0f x 设，则解：1x 当时，有C|1|220 x 20()xx 或舍去1x 当时，有ln|10 x ()xexe 或舍去()0-2.f xe 综上，的解为，问题3:由以上可知，当我们无法用公式解方程f(x)=0时，我们可以用怎样的方法来求其实数解？利用函数y=f(x)的性质和图象，找出函数的零点，从而得到方程的解。问题4:对于二次函数 f(x)=x2-2x-3 ，观察它的图象，发现它在区间2,4和-2,0各有一个零点.(1)这时，函数图象与x轴有什么关系？(2)你认为应如何利
6、用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系？在零点及其附近，函数图象连续不断；函数图象在零点处穿过了x轴。函数图象在区间(2,4)上，函数图象从下到上穿过了x轴，即 f(2)0，f(2)f(4)0 ，f(0)0，f(-2)f(0)0.(3)再任意画几个函数图象，观察零点所在的区间，以及在这这一区间上函数图象与x轴的关系.类似地，你得到用函数 f(x)的取值规律的方法吗？()2f xx 2()log(2)f xx()33xf x 函数图象在区间1,3上连续不断；并在(1,3)上从上到下穿过了x轴。(1)0,(3)0ff(1)(3)0ff 函数图象在区间2,4上连续不断；并在(2,4)上从下到上穿过
7、了x轴。(2)0,(4)0ff(2)(4)0ff 函数图象在区间0,2上连续不断；并在(0,2)上从下到上穿过了x轴。(0)0,(2)0,ff(0)(2)0ff 问题5:由以上的分析，你能说说在区间(a,b)上，y=f(x)在什么样的情况下一定有零点？一般地，如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即 存在 c (a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0 的解.函数零点存在性定理 问题6：(1)如果函数 y=f(x)在区间a,b上有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)
8、在区间(a,b)内是否一定有零点？(2)如果函数 y=f(x)在区间a,b上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？xoyaby=()f xxoyaby=()f x “在区间a,b上图象连续不断”和“f(a)f(b)0”这两个条件缺一不可。(3)如果函数 y=f(x)在区间a,b上是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)0？xoyaby=()f x (4)如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？xoya
9、by=()f x “在区间a,b上图象连续不断”和“f(a)f(b)0”是函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。即此定理不可逆。函数零点存在定理可以判定函数有零点，但不能判定零点的个数。(5)如何理解函数零点存在定理？如果函数 y=f(x)在区间a,b具有单调性呢？一般地，如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即 存在 c (a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0 的解.函数零点存在性定理 理解此定理时应注意以下几个问题：(1)此定理不可逆.即 若函
10、数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但有零点，却不一定满足上述两个条件.因此，上述两个条件是函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点的充分不必要条件。(2)此定理不能确定零点的个数.即 若函数y=f(x)同时满足上述两个条件，则y=f(x)在区间(a,b)内一定存在零点，但零点不一定只有一个。但若函数y=f(x)在区间(a,b)内还同时具有单调性，则函数在这区间(a,b)上只有一个零点.返回练习 下列三图分别是同一个函数在不同范围的图象，你能仅根据其中的某一图象，得出函数在某一个区间上只有一个零点的判断？为什么？(教材P144练习第1题)不能。因
11、为当自变量在不同的范围内取值时，图象呈现的细节有可能不相同。在本题中，当x(-200,200),x(-20,20),x(-2,2)时，看到的零点个数是不同的。所以确定函数的零点往往需要函数的了解函数的性质，并借助相关的定理例2.求方程lnx+2x6=0实数解的个数例 析解：设函数f(x)=lnx+2x6，则 f(x)的定义域为(0,+)列表，并作出f(x)的图象x1 2 3456789f(x)-4 4-1.3069-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972f(2)0，即 f(2)f(3)0.由函数零点存在定理，f(x)在(2,3)内至
12、少有一个零点.又 f(x)=lnx+2x6是增函数,f(x)是只有一个零点,方程lnx+2x6=0有1个实数解.由表和图象得f(x)=lnx+2x6 思考1：以上解法中，列表和作图都借助了工具。事实上，本题还可以先判定函数是增函数，再让x在定义域内取值，由f(x)的符号来得出零点的个数。除此之外，你还有别的解法吗？例2.求方程lnx+2x6=0实数解的个数另解：由lnx+2x6=0得 lnx=-2x+6 设f(x)=lnx,g(x)=-2x+6.作出函数 f(x)和 g(x)的图象，如右.由图知，函数f(x)和 g(x)的图象只有一个公共点P(x0,y0)，其中x0(2,3)方程lnx=-2x
13、+6只有一个解,即lnx+2x6=0有1个实数解.xoyf(x)=lnxg(x)=-2x+600(,)P xy0 x减函数增函数思考2：如何判定函数y=f(x)零点(或方程f(x)=0的解)的个数？思路1.解方程法：思路2.性质法：一是直接解方程f(x)=0或判断方程解的个数;根据函数f(x)的性质和零点存在定理进行判断 二是利用函数图象.由函数f(x)=0得g(x)=h(x)，再分别作出g(x)和h(x)的图象，则两图象的交点个数得出结论例3.判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？解：思考1：若不借助计算工具和软件，函数 f(x)=4-3x+log2 x图象容易作出吗？若不
14、易作出，有哪一些思路？思路2：转化判断方程4-3x+log2 x=0根的个数.思路1：在定义域内，让x取一些值，由f(x)的正负来判断；函数的定义域为2()43log(0,)f xxx 1()32f 132322143log1332 116162143log316 0 1()16f 144211()43l20og344f 0 122211()43log33022f 2(1)43l10og1f 22(2)43log 240f 2(3)25log 30f .x随着x的增加，3 增加越来越快，增加越来越慢2log x越来小2()43logxf xx (4)770f 有两个零点。()f xxoy另解：
15、由 f(x)=4-3x+log2 x=0得 log2 x=3x-4 设f(x)=log2 x,g(x)=3x-4 作出f(x)和g(x)的图象 由图可得 函数f(x)和g(x)的图象有两个公共点。方程4-3x+log2 x=0有两个实数解，即 f(x)=4-3x+log2 x有2个零点。2xg(x)=3x-4f(x)=log2 x1x例3.判断函数 f(x)=4-3x+log2 x有多少个零点？思考2：这种解法好不好，为什么？若 f(x)=4+3x+log2 x呢？不好。一是事先并不知道各个零点所在的大致区间，二是x取哪一些值不好把握。但若如例2中，函数是增函数或减函数，则这种方法则比较方便。
16、思考3：你能用例2的方法来判断方程4-3x+log2 x=0根的个数吗？增函数增函数例4.函数若有一个零点，求的范围。122log(1),10(),()()22,0 xxfxg xfxmxx xm 设，则()()20g xfxm ()2fxm 设()2h xm 作 出 函 数和的 图 象。()()fxh xxoy()yfx()yh x 函数有三个零点()()2g xf xm 和的图象有三个公共点()()f xh x由图象得,021m 102m 解：练习1.方程ex-8x-8=0 的根所在的区间为（）A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.函数 f(x)2x|log0.
17、5x|1的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3()88,xf xex 设 则(0)70f 21(2)80,fe 1(1)0,fe ()88(1,0)xf xex 的零点在内.简析：B0.5()2|log|10 xf xx 设，则0.51|log|2xx 0.51()|log|,()2xg xxh x 设 ()()g xh x作出函数和的图象，xoy()yfx()yh x()()g xh x和的图象有两个公共点()0f x 方程有两个实数解,y()f x即=有两个零点简析：C33,14.()()0log,1_xxfxfxkx xk 已 知，若 方 程有 两 个实 数 解，则的 范 围 是
18、。已知 则的零点为22,1,3.()()_.1log,11,xxf xf xx x 简析：()0,f x 设则1x 当时，2100 xx ，1x 当时,211log0,()2xx 舍去 ()0()0f xf x 综上，方程的解为0，的零点为。()()00g xf xk 设，则()f xk()yf xyk 作出和的图象，xoy()yfx yk 由图象得，03k 03k 0简析：课堂小结 1.说说什么是函数的零点？它与对应方程的解有何关系？3.说说如何处理有关函数零点或方程根的问题？2.如何理解函数零点存在定理？4.本节内容主要的思想方法有哪一些？函数和方程的思想方法；数形结合的思想方法。转化和化
19、归的思想方法；作 业教材P155习题4.5 第2，3，7题方程解法时间图（中国）公元公元50年年100年年一次方程、二次方一次方程、二次方程三次方程根程三次方程根11世纪世纪北宋北宋贾宪贾宪三次方程正根三次方程正根数值解法数值解法13世纪世纪南宋南宋秦九韶秦九韶任意次代数方程正任意次代数方程正根解法根解法7世纪世纪隋隋唐唐王孝通王孝通三次或三次三次或三次以上方程以上方程方程解法时间图（西方）一次方程、二次一次方程、二次方程的一般解法方程的一般解法1541年年意大利意大利塔尔塔利亚塔尔塔利亚三次方程三次方程一般解法一般解法18021829挪威挪威阿贝尔阿贝尔证明了五次以上一般证明了五次以上一般方程没有求根公式方程没有求根公式记载了费拉里记载了费拉里的四次方程一的四次方程一般解法般解法9世纪世纪阿拉伯阿拉伯花拉子米花拉子米1545年年意大利意大利卡尔达诺卡尔达诺背景资料
