1、专题9：函数与方程及函数图像变换一、单选题1向高为的水瓶（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是（ ）ABCD2函数在区间上是增函数，则使得为增函数的区间为（ ）ABCD3已知函数f（x）是偶函数，则下列方程一定是函数f（2x+1）的图象一条对称轴方程的是（）Ax1BxCx1Dx4已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）ABCD5函数的部分图像大致为（ ）ABCD6直线与曲线有四个交点，则的取值范围为（ ）ABCD7已知函数，则此函数图象上关于原点对称的点有（ ）A1对B2对C3对D0对8已知函数，当时有，则必有（ ）A，B，CD二、多选题9高斯是德国著名数学家，
2、近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（）A函数的值域是B函数是周期函数C函数的图象关于对称D方程只有一个实数根10已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则下列说法正确的是（）A BCD三、填空题11若与在区间上都是减函数，则的取值范围是_.12设函数，若关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为_.四、解答题13已知函数.（1）作出函数的图象.（2）判断直线与的交点的个数；（3）已知方程有三个实数解.求m的取值范围.14已知函数，（
3、1）当时，求函数零点的个数；（2）若在上有实根，且，求的取值范围15已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.（1）若，证明：函数必有局部对称点.（2）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.答案1D2C3B4D5A定义域为且，为奇函数，图象关于原点对称，可排除C，D；当时，可排除B，知A正确.故选：A.6D则作出函数的图象，如图直线与曲线有四个交点，由图可知 故选：D7A解：作出函数图象如图所示：再作出关于原点对称曲线，发现与曲线C有两个交点，满足条件的对称点只有一对，图中的就是符合题意的点.故选：A.8D作出函数的图象，有，则必有，且，所以，得且，即.故选：D9AD由
4、题得函数的定义域为,，所以函数为偶函数，当时，；当时，；当时，；所以函数的图象如图所示，所以函数的图象如图所示，所以函数的值域是，故选项A正确；由函数的图象得到不是周期函数，故选项B不正确；由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；对于方程，当时，方程有一个实数根；当时，此时，此时方程没有实数根；当时，此时，此时方程没有实数根；故方程只有一个实数根，故选项D正确.故选：AD10BCD解：作出函数的图象，方程有四个不同的实根，即函数与有四个不同的交点，如图所示：依题意，且，所以，即，所以，即，所以，所以，故选项A错误，选项B正确；又，是方程的两根，即，是方程的两根，所以，因为方程有四
5、个不同的实根，所以由图可知，所以，故选项C，选项D均正确故选：BCD.11根据与在区间，上都是减函数，的对称轴为，所以，的图象是由的图象向左平移一个单位得到的.在区间，上是减函数，则在上单调递减.所以所以，即的取值范围为故答案为：12作出函数的图象如下，令，则方程化为，要使关于的方程恰好由六个不同的实数解，则方程在，内有两个不同的实数根，解得实数的取值范围为故答案为：13（1）图象见解析；（2）见详解；（3）.解：（1）函数，去绝对值可得，即时，是开口向上、对称轴为、零点为-1和2的抛物线的一部分；时，是开口向下、对称轴为、零点为-1和2的抛物线的一部分，作图如下：（2）由（1）中图象，数形结
6、合知，当或时，直线与有1个交点；当或时，直线与有2个交点；当时，直线与有3个交点；（3）方程有三个实数解，即与有三个交点，由（2）可知，即，所以m的取值范围为.14（1）2个；（2）.（1）当时，令，得，在同一个坐标系中画出两函数和的图象，两个图象有一个交点，所以函数有一个零点；（2）在上有实根，即在上有实根，因为，所以令，即在上有解，从中可得，当时，当时，可以转化为：，即，由整理得：，因为，所以，根据对勾函数的性质，可知，所以；由整理得：，因为，所以，根据对勾函数的性质，可知，所以，综上，的取值范围是：.15（1）证明见解析；（2）.（1）由得，代入得，得到关于的方程，其中，由于且，恒成立，函数必有局部对称点.（2）在上有局部对称点，在上有解，即（*）在上有解，令，则，方程（*）变为在内有解，需满足条件，即，化简得.
