1、3.1 函 数 的 概 念 及 其 表 示 函 数 的 概 念 及 其 表 示3.1.1函数的概念1.函数的有关概念1|函数的概念函数的定义一般地,设A,B是 非空的实数集 ,如果对于集合A中的任意 一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定 的数y和它对应,那么就称 f:AB 为从集合A到集合B的一个函数函数的记法 y=f(x),xA定义域x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域值域函数值的集合 f(x)|xA 叫做函数的值域注意:在函数定义中,用符号y=f(x)表示函数,其中f(x)表示x对应的函数值,而不是f乘x.2.同一个函数一个函数的构成要素为:定义域、对应关系
2、和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的 定义域 相同,并且对应关系 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.1.一般区间的表示设a,b是两个实数,而且ab,我们规定:2|区间的概念及其表示集合名称符号数轴表示x|axb闭区间 a,b x|axb开区间 (a,b)x|axb半开半闭区间a,b)x|aa(a,+)x|xb(-,bx|x-2,且x-1.所以函数y=的定义域为x|x-2,且x-1.(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x5,且x3,所以函数y=的定义域为x|x5,且x3.(3)要使函数f(x)有意义,自变量x的取值必须
3、满足即解得-1x0)的定义域.思路点拨根据抽象函数定义域的实质列出不等式(组)求解,对于含参数的抽象函数要注意分类讨论.解析 (1)由题意知,函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,2x+11,3,即x0,1,函数f(2x+1)的定义域为0,1.(2)x1,3,2x+13,7,函数f(x)的定义域为3,7.(3)x1,3,2x+13,7,3x3,7,即x,函数f(3x)的定义域为.(4)依题意有71,371,301,01xmxm1,1.mxmmxm m0,-m0,1-m1+m,但m与1-m的大小不确定,对m与1-m的大小分类讨论.若m=1-m,即m=,则x=m=;若m1
4、-m,即m1-m,即m,则x不存在,与题意不符.综上,0m,函数g(x)的定义域为x|mx1-m.12121212122|如何解决函数求值问题1.求函数值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时,只需用常数a替换解析式中的x并进行计算,即得f(a)的值.(2)已知函数f(x)与g(x)的解析式,求f(g(a)的值,应遵循由内到外的原则.注意:用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值,否则求值无意义.2.已知函数值求自变量的对应值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时,列方程f(x)=a,解出其中的x,即可得到函数值为a时x的值.(2)已知函数f(x)与g(x),求f(g(x)=a中的x的
5、值,可以由内到外,也可由外到内进行求解.已知函数f(x)=11+x(xR,且x-1),g(x)=x2+2(xR).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f(g(3)的值;(3)若f(g(x)=14,求x的值.思路点拨本题是函数求值的问题,(1)(2)分别将自变量的值代入解析式中求解即可,(3)可以由外到内,也可以由内到外求解.解析 (1)f(2)=11+2=13.g(2)=22+2=6.(2)g(3)=32+2=11,f(g(3)=f(11)=11+11=22.(3)解法一:f(g(x)=14,11+g(x)=14,解得g(x)=3,x2+2=3,解得x=1.解法二:f(g(x)=f(x2+
6、2)=11+x2+2=13+x2,令13+x2=14,则x2=1,解得x=1.3|如何求函数的值域 求函数值域的常用方法1.观察法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域.2.图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域.3.配方法:此方法是求“二次函数”值域的基本方法,即把函数式通过配方转化成能直接看出其值域的方法.4.分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数”的形式,便于求值域.5.换元法:对于一些无理函数(如y=axb),通过换元把它们转化为我们熟悉的函数,间接求出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围.除此之外还有判别式法,反表示法等,解题时根据题目特点灵活选择并应用.cxd求下列函数的值域:(1)y=x2-4x+6,x1,5;(2)y=;(3)y=x+.321xx21x 解析(1)配方得y=(x-2)2+2,x1,5,画出函数图象如图所示:由图知,2y11,即函数的值域为2,11.(2)y=3+3,321xx3(1)51xx51x 函数的值域为(-,3)(3,+).(3)设u=,则u0,x=.y=+u=(u+1)2.u0,y,y=x+的值域为.21x 212u212u121221x 1,2
