1、4.5.3函数模型的应用函数模型的应用1|常见的函数模型一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k0)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)对数函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m0,a0且a1)幂函数模型y=axn+b(a,n,b为常数,a0)2|利用函数模型解决实际问题的基本过程1.函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义.()提示:在实际问题中,函数的定义域不仅要使函数式有意义,而且要使自变量表示的各个量均满足实际意义.2.根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数选择适当的函数模型,这样得
2、到的函数模型的模拟效果较好.()提示:根据散点图选择函数模型,针对性较强,得到的函数模型的模拟效果较好.3.用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有点.()提示:拟合函数的图象不需要经过散点图中的所有点,只需误差小就行了.4.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.()提示:用函数模型预测的结果和实际结果可以有误差,好的函数模型预测的结果与实际结果误差较小.判断正误，正确的画“”，错误的画“”.|利用函数模型解决实际问题 利用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题弄清题意,分清条件和要求的结论,理顺数量关系;(2)建模将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,
3、利用数学知识建立相应的函数模型;(3)求模推理并求解函数模型;(4)还原用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格,绘出散点图;(2)通过考察散点图,画出拟合直线或拟合曲线;(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t min后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta),其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯88 的速溶咖啡放在24 的房间中,如果咖啡降温到40 需要20 min,那么降
4、温到32,需要多长时间?12th思路点拨根据已知条件确定函数关系式,然后代值求解.解析 由题意可得40-24=(88-24),即=,解得h=10,故T-24=(88-24),将T=32代入上式,得32-24=(88-24),即=,t=30.2012h142012h1012t1012t1012t86418312因此需要30 min可降温到32.某企业常年生产一种出口产品,自2017年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2017年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出20172020年该产品年产量的散点图;(2)建
5、立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该产品年产量变化的函数模型,并求出函数解析式;(3)2021年(即x=5)因受到某种影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,估计2021年的年产量.解析 (1)画出散点图,如图所示.(2)由散点图知,可选用一次函数模型.设f(x)=ax+b(a0).由已知得解得所以f(x)=1.5x+2.5.4,37,abab1.5,2.5,ab检验:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.080.1.f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06400可得1.1x2,即x7.3,即企业从第8年(2019年为第一年)开始,每年投入的资金将超过400万
6、元.AAA.x=15,y=12B.x=12,y=15C.x=14,y=10D.x=10,y=147.某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效益是产品的销售额与广告费之间的差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,那么根据对市场的抽样调查发现:每投入100万元的广告费,所得的销售额是1 000万元.问:该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益?解析设广告费为x万元时,广告效益为y万元,销售额为t万元.由题意可设t=k(k0),则y=t-x=k-x.当x=100时,t=1 000,1 000=10k,解得k=100,t=100,y=100-x.令=m,则m0,y=100m-m2=-(
7、m-50)2+2 500,当m=50,即x=2 500时,y取得最大值,为2 500.该企业投入2 500万元广告费时,能获得最大的广告效益.8.某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?解析(1)当每件商品的售价上涨x元时,每件商品的利润为(50+x-40)元,此时的销量为(210-10
8、x)件,每个月的销售利润y元与每件商品的售价上涨的价格x元之间满足y=(210-10 x)(50+x-40)=-10 x2+110 x+2 100(0 x15,且x为正整数).(2)由(1)得y=-10(x-5.5)2+2 402.5.a=-100,当x=5.5时,y有最大值2 402.5.00,a1)与y=p+q(p0)可供选择.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式;(2)问约经过几个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍?(参考数据:1.41,1.73,lg 20.30,lg 30.48)解析(1)因为y=kax(k0,a1)的增长速度越来越快,而y=p
9、+q(p0)的增长速度越来越慢,所以依题意应选择y=kax(k0,a1),则有解得所以y=8.(2)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍,则8=81 000,解得x=lo1 000=16.67.故约经过17个月后该水域中此生物的覆盖面积是当初投放时的1 000倍.C题组一利用已知函数模型解决问题 1.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则
10、t*约为(ln 192.9)(C)A.60B.63C.66D.692.(2020陕西咸阳高一期末,)在一定的储存温度范围内,某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)之间满足函数关系y=ekx+b(e=2.718 28为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0 时的保鲜时间为120小时,在30 时的保鲜时间为15小时,则该食品在20 时的保鲜时间为(A)A.30小时B.40小时 C.50小时D.80小时题组三拟合函数模型解决问题9.(2020湖南宁乡一中高一月考,)某品牌电脑投放市场的第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场月数x之间关系的是(C)A.y=100 x B.y=50 x2-50 x+100 C.y=502x D.y=100log2x+100
