1、5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念复习回顾复习回顾锐角三角函数：锐角三角函数：cb sinca cosab tanba cotcba xyorP(a,b)M 设设是一个锐角，是一个锐角，P(a，b)是其终边上任意一点，记是其终边上任意一点，记r=，那么：，那么：22ba 在终边上移动点在终边上移动点P的位置的位置,这三个比值这三个比值会改变吗会改变吗?不会，与不会，与P点在终边上的位置无关点在终边上的位置无关abrarb tan;cos;sin 当点当点P(a,b)取在使线段取在使线段OP的长的长r=1的特殊位置上，这样就可以得的特殊位置上，这样就可以得到直角坐标系内点的坐标表示的到直角
2、坐标系内点的坐标表示的锐角三角函数锐角三角函数xA(1,0)yOP(a,b)Mabab tan;cos;sinabrarb tan;cos;sinxyxy tan;cos;sin在直角坐标系中在直角坐标系中,以以原点原点O为圆心为圆心，以，以单位长度为半径单位长度为半径的圆的圆叫叫单位圆单位圆。类比锐角三角函数，我们也可以利用单位圆定义类比锐角三角函数，我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数任意角三角函数(正弦，余弦，正切正弦，余弦，正切)。推广推广:任意角的三角函数定义：任意角的三角函数定义：xyOP(x,y)A(1,0)如图，设如图，设是一个是一个任意角任意角(R)，它的终边与，它的终边与
3、单位圆单位圆交于点交于点P(x,y)，那么：，那么：(1)y叫做叫做的正弦函数，记作的正弦函数，记作sin，即，即y=sin；(2)x叫做叫做的余弦函数，记作的余弦函数，记作cos，即，即x=cos；(3)叫做叫做的正切函数，记作的正切函数，记作tan，即，即 xy)0(tan xxy 当角当角 时，时，的终边在的终边在y轴上，点轴上，点 P的横坐标的横坐标x等于等于0，所以，所以 无意义，除此之外，对于确定的角以上三个值都无意义，除此之外，对于确定的角以上三个值都是唯一确定的是唯一确定的.)(2Zkk tan xy我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称
4、为三角函数三角函数，通常将它，通常将它们记为：们记为：Rxxy ,sin正弦函数正弦函数Rxxy ,cos余弦函数余弦函数)(2,tanZkkxxy 正切函数正切函数【总结总结】三角函数可以看成是以三角函数可以看成是以实数实数(为弧度为弧度)为自变量为自变量，以单位，以单位圆上圆上点的坐标或坐标的比值点的坐标或坐标的比值为为函数值函数值的函数的函数.例例1、求、求 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。35 解：在坐标系中作出解：在坐标系中作出 ，易知，易知AOB的终的终边与单位圆的交点坐标为边与单位圆的交点坐标为 ，所以，所以35 AOB)2321(，2335sin 2135cos 3
5、35tan 求求 的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。67 P180练习练习2：3367sin2367cos2167sin xyrxry tancossin，例例2、如图，设、如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点不与原点O重合重合)坐标为坐标为(x，y)，点，点P与原点的距离为与原点的距离为r，求证：，求证：),(000yxP的的终终边边与与单单位位圆圆交交于于点点解解：设设角角 0000,MMMPPMxPP垂足分别为垂足分别为轴的垂线轴的垂线作作分别过点分别过点|000yPMyMP ，|00 xOMxOM ，),(yx),(00yx相似
6、相似与与00POMOMP ryyrPMMP|1|000 ，即，即ryryyyy sin00，即，即同号，所以同号，所以与与因为因为xyrx tancos，同理可得同理可得如图，设如图，设是一个任意角，是一个任意角，P(x，y)是是终边上任意一点，点终边上任意一点，点P与原点与原点的距离为的距离为 ，则，则xyrxry tan;cos;sin022 yxr点位置的改变而改变点位置的改变而改变些函数值不会随些函数值不会随的各个三角函数并且这的各个三角函数并且这的坐标，就可以求得角的坐标，就可以求得角终边上任意一点终边上任意一点可得，只要知道角可得，只要知道角由例由例PP 2例例3、已知角、已知角的
7、终边经过点的终边经过点P0(-3，-4)，求角，求角的正弦、余弦和正切的正弦、余弦和正切值。值。xyOP0(-3,-4)3434tan5353cos5454sin5)4()3(22 xyrxryr P180练习练习3：已知角：已知角的终边经过点的终边经过点P(-12，5)，求角求角的三角函数值。的三角函数值。125125tan13121312cos135sin13)5()12(22 xyrxryr 任意角的三角函数定义：任意角的三角函数定义：xyOP(x,y)A(1,0)如图，设如图，设 是一个任意角，它的终边与单位圆是一个任意角，它的终边与单位圆（在直角坐标系中，称以原点（在直角坐标系中，称
8、以原点O O为圆心，以单位长为圆心，以单位长度为半径的圆）交于点度为半径的圆）交于点P(x,y)，那么：，那么：（1 1）y叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作sinsin，即，即sinsin=y；（2 2）x叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作coscos，即即coscos=x；（3 3）叫做叫做 的正切，记作的正切，记作tantan，即，即 xy)0(tanxxy知识点回顾知识点回顾设角设角 终边上终边上任意一点任意一点P的坐标为（的坐标为（x，y）,它它与原点的距离为与原点的距离为r，则，则xyrxry tan;cos;sin22yxr31、的终边经过的终边经过P(-b，4)，且，且 ，则，
9、则b的值为的值为_随堂练习随堂练习53cos 22sin.22cos.1tan.1sin.)()1,1()(2 DCBAP，则则的的终终边边经经过过点点若若角角多多选选题题、BD4、已知点、已知点P在半径为在半径为2的圆上按顺时方向做匀速运动，角速度为的圆上按顺时方向做匀速运动，角速度为1rad/s，求，求2s时点时点P所在的位置所在的位置.解：如图，以坐标原点为圆心解：如图，以坐标原点为圆心O，OP所在直线为所在直线为x轴正方向，轴正方向，建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系设设2s时点时点P所在的位置记为所在的位置记为Q(x，y).因为因为点点P在半径为在半径为2的圆上按顺时方向做匀速运动
10、，角速度为的圆上按顺时方向做匀速运动，角速度为1rad/s，所以，所以圆心角圆心角POQ=-2rad.依题意可得依题意可得解得解得x=2cos2，y=-2sin2所以所以2s时，点时，点P在该坐标系中的位置为在该坐标系中的位置为Q(2cos2，-2sin2)2)2cos(2)2(sinxy ；根据任意角的三角定义，写出三角函数在弧度制下的定义域根据任意角的三角定义，写出三角函数在弧度制下的定义域三角函数的定义域三角函数的定义域函数函数定义域定义域y=siny=cosy=tanRR,2|Zkk 三角函数值的符号问题三角函数值的符号问题yxo()()()()sinyxo()()()()cosyxo
11、()()()()填写正弦，余弦，正切，余切值在各象限的符号：填写正弦，余弦，正切，余切值在各象限的符号：规律：规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦 tan若角若角a的终边过点的终边过点(-3，-2)，则，则()Asina tana0Bcosa tana0Csina cosa0Dsina0C课堂练习课堂练习解解:(先证充分性先证充分性)因为式因为式sin0成立成立,所以所以角的终边可能位于第一或第三象限角的终边可能位于第一或第三象限;因为式式都成立因为式式都成立,所以所以角的终边只能位于第三象限角的终边只能位于第三象限;于是于是,为第三象限角为第三象限角例例1、求证
12、：角、求证：角为第三象限角的充要条件为为第三象限角的充要条件为 0tan0sin 所以必要性成立，即充要性成立所以必要性成立，即充要性成立.(再证明必要性再证明必要性)因为因为是第三象限角，根据定义有是第三象限角，根据定义有sin0，tan0，由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等。由三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值相等。公式一：公式一：sin(k2)sin cos(k2)cos tan(k2)tan(kZ)2、k2，kZ表示任意与表示任意与终边相同的角。终边相同的角。3、此公式表明求任意角的三角函数值的问题，可以转化为、此公式表明求任意角的三角函数值的问题，可
13、以转化为求求02(0360)间角的三角函数值的问题。间角的三角函数值的问题。1、运用公式时，、运用公式时，kZ不能省略！不能省略！说明：说明：4、说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系、说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系:即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对应反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对应.例例4、确定下列三角函数值的符号：、确定下列三角函数值的符号：练习：练习：P182页第页第3题题 3tan)672tan()4sin(250cos 是第三象
14、限角，是第三象限角，因为因为解：解：250)1(；所以所以0250cos 是第四象限角，是第四象限角，因为因为4)2(；所以所以0)4sin(；所以所以0)672tan(0tan 轴上，所以轴上，所以的终边在的终边在而而x 48tan)360248tan()672tan()3(因为因为是第一象限角是第一象限角而而 48 tan)2tan(3tan)4(因为因为例例5、求下列三角函数值：、求下列三角函数值：).611tan()3(;49cos)2(;011480sin)1(练习：练习：P182页第页第5题题(2)(3)(4)36040140sin(011480sin)1(645.00140sin
15、 )42cos(49cos)2(224cos )26tan()611tan()3(336tan DB课后练习课后练习1、若、若sintan0，则，则的终边在的终边在()A.第一象限第一象限 B.第四象限第四象限 C.第二或第三象限第二或第三象限 D.第一或第四象限第一或第四象限2、下列各三角函数值中，取负值的是、下列各三角函数值中，取负值的是()A.sin(-660)B.tan160 C.cos(-740)D.sin(-420)cos570C1,1.3,1.3,0,1.3,1,0,1.)(tan|tan|cos|cossin|sin|3 DCBAxxxxxxy的的值值域域的的集集合合是是、函函数数
