1、4.5.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解教学目标掌握应用二分法求方程近似解的原理与步骤（重点）01 会用二分法求方程的近似解（重点、难点）02 0304用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解学科素养 数学抽象 直观想象二分法求方程近似解的原理与步骤逻辑推理 用二分法求方程的近似解数学运算 数据分析 数学建模用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解01Retrospective Knowledge函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解函数函数y=f(x)-g-g(x)的的 方程方程f(x)-g-g(x)=0的的 方程方程f(x)=g g(x)的的 函数函数y=f(x)
2、的图象与的图象与y=g g(x)的图象的图象公共点的公共点的函数函数y=f(x)的的方程方程f(x)=0的的 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴公共点的轴公共点的如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在 c (a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解函数零点唯一性定理：函数零点唯一性定理：如果函数 y=f(x)是区间a,b上连续的单调函数，且有 f(a)f(b)0，那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有且只有一个零点，即存在唯一的实数 c (a,b)，使得
3、 f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解02New Knowledge explore用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 我们已经知道，方程 ln x 2x6=0的实数根x0(2，3)，即函数在区间(2，3)内存在一个零点进一步的问题是，如何求出这个零点呢？一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精 确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值为了方便，可以通过 取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 取区间(2，3)的中点2.5，用计算工具算得 f(2.5)0.084因为f(2.5)f(3)0，所以零点
4、在区间(2.5，3)再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算工具算得 f(2.75)0.512.因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5，2.75)内 因为(2，3)(2.5，3)(2.5，2.75)，所以零点所在的范围变小了如果重复上述的步骤，那么零点所在的范围会越来越小 这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解f(x)=ln x 2x6f(2)0，x0(2，3)f(2.5)0，x0(2.5，3)f
5、(2.5)0，x0(2.5，2.75)f(2.5)0，x0(2.5，2.625)f(2.5)0，x0(2.5，2.5625)f(2.53125)0，x0(2.53125，2.5625)用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解()ln26f xxx232.52.752.65(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.562 50.066(2.5，2.5625)2.531 25-0.009(2.53125，2.5625)2.546 8750.029(2.53125，2.546875)2.539 062 50.01
6、0(2.53125，2.5390625)2.535 156 250.001用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 52.531 25|=0.007 812 50.01，所以区间(2.531 25，2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x=2.531 25作为函数f(x)=lnx2x6零点的近似值，即方程lnx2x6=0的近似解(2，3)2.5-0.084(2.5，3)2.750.512(2.5，2.75)2.6250.215(2.5，2.625)2.562 50.066(2.5，2.5625)2.531 2
7、5-0.009(2.53125，2.5625)2.546 8750.029(2.53125，2.546875)2.539 062 50.010(2.53125，2.5390625)2.535 156 250.001用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是什么？xy0ab二分法是否适合求所有函数的零点？二分法是否适合求所有函数的零点？用二分法求方程的近似解用二分法
8、求方程的近似解 3.计算f(c)；若f(c)=0，则c就是函数的零点c；若f(a)f(c)0，此时零点x0(a,c)，则令b=c;若f(b)f(c)0，此时零点x0(c,b)，则令a=c;1.确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；2.求区间(a,b)的中点c；4.判断是否达到精度，若|a-b|，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤24；由|a-b|可知，区间a,b中任意一个值都是零点x0的满足精确度的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b).用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解例例2 借助信息技术，用二分法求方程 2x3x=7函数的近似解（精确度为0.1）【解析
9、】原方程即2x3x7=0，令f(x)=2x3x7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表x012345678y-6-2310214075 142 273观察函数图象和上表，可知f(1)f(2)0用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解区间区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值(1,2)1.50.33(1,1.5)1.25-0.87(1.25,1.5)1.375-0.28(1.375,1.5)1.43750.02(1.375,1.4375)由于|1.3751.4375|=0.06250.1，此时区间(1.375，1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.
10、4，所以原方程精确到0.1的近似解可以为1.375 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 二分法求方程近似解，计算量较大，重复步骤多，这可以让计算机来完成，但是得是人设计好计算程序，由计算机执行，其程序框图为：开始定义f(x)输入,a,b2abc 0f a f cb=ca=c 0f ca=c|ab输出解x=a结束是否是否是否03Expansion And Promotion用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解练习练习1 通过下列函数的图象,判断不能用“二分法”求其零点的是 练习练习2 若二次函数 f(x)=2x23xm存在零点，且能够利用二分法求得此零点，则实数m的取值范围是
11、用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解练习练习3 若函数f(x)=log3xx3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下:f(2)0.369 1f(2.5)0.334 0 f(2.25)0.011 9f(2.375)0.162 4 f(2.312 5)0.075 6f(2.281 25)0.031 9则方程log3xx3=0的一个近似解(精确度0.1)为()A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.404Sum Up用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解二分法：二分法：对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在
12、的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法用二分法求函数零点近似值的步骤：用二分法求函数零点近似值的步骤：1.确定区间a,b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；2.求区间(a,b)的中点c；3.计算f(c)；若f(c)=0，则c就是函数的零点c；若f(a)f(c)0，则令b=c(此时零点x0(a,c)；若f(b)f(c)0，则令a=c(此时零点x0(c,b)；4.判断是否达到精度，若|a-b|，则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤24；由|a-b|可知，区间a,b中任意一个值都是零点x0的满足精确度的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b)05Homework After Class用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解P155 习题4.5 第1，2，3题
