1、1.1 集合的概念引入 我们知道，方程x2=2在有理数范围内无解，但在实数范围内有解。在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而有空间内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆球面 ，因此，明确研究对象，确定研究范围是研究数学问题的基础。为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具。集合的知识是现代数学的基础，也是高中数学的基础。在本章，我们将学习集合的概念、基本关系和运算，学习用集合刻画一类事物的方法。有理数的集合：由所有的有理数组成的集合；不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合；角平分线：到角的两边个的距离相等的点的集合；.回 顾
2、在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合是圆等。你还能能举出其它个例子吗？为了更有效地使用集合的语言，我们需要进一步了解集合的有关知识。下面我们先从集合的含义开始。知识探究（一）(1)110之中的所有偶数；(2)立德中学今年入学的全体高一学生；(3)所有的正方形；(4)到直线 l 的距离等于定长d的所有的点;(5)方程x2-3x+2=0 的所有实数根；(6)地球上的四大洋。在(1)中，我们把110间的每一个偶数2,4,6,8都叫元素，这些元素的全体就是一个成集合。在(2)中，我们把立德中学今年入学的每一个高一学生叫元素，这些元素的全体
3、也是一个集合。思考1：(3)(8)能组成集合吗?它们的元素分别是什么?以上6个例子有什么共同特征?以上6个例子都是由若干个对象组成的全体 “集合”同我们以前学过的“点”,“直线”一样，是一个原始概念，不能给出定义，但你能给出集合的大致描述(含义)吗?一般地，我们把研究的对象称为元素。元素通常用小写拉丁字母a，b，c，表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。集合通常用大写拉丁字母A，B，C，表示.元素和集合的含义 思考2：任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？问题1：较小的数，能否构成一个集合？好好看的衣服呢？-3是自然数集的元素吗？10000呢？由此说明什么？集合中的元
4、素必须是确定的（确定性）问题2：高一2班这个集体中会有两个相同的同学吗？由1,2,|-2|,3,3组成的集合有几个元素？由此你能想到什么？集合中的元素互不相同（互异性）问题3：高一2班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有变化吗？为什么？集合中的元素是没有顺序的（无序性）集 合 元 素 的 性 质（1）确定性 集合中的元素必须是确定的，不确定的对象不能构成集合;（2）互异性 集合中的元素是互不相同的，若集合中出现了几个相同的对象，只能合并为一个元素;（3）无序性 集合中的元素是没有顺序的.练习：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由?(1)与定点A,B等距离的点；(2)高中学生中的游
5、泳能手。(1)能。所有的点组成的集合为线段AB的垂直平分线；(2)不能。因为游泳能手的划分没有明确的标准，不满足确定性解：思考3：(1)设集合A表示“110之中的所有偶数组成的集合”，那么3，4，5，6，7 是集合A的元素？哪些不是集合A的元素？两种：a是集合A的元素，a不是集合A的元素4，6是集合A的元素，2是集合A的元素。(2)设集合B表示“方程x2-3x+2=0 的所有实数根组成的集合”，那么-1是集合B的元素吗？2呢？-1不是集合A的元素，3，5，7不是集合A的元素。(3)由以上可知，对于一个给定的集合A和元素a，元素a与集合A的关系有哪几种？如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A
6、，如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作：aA 记作：aA 元 素 和 集 合 的 关 系自然语言符号语言知识探究（二）自然数集（非负整数集），记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作 Z有理数集，记作 Q实数集，记作 R数学中的常用数集及其记法 你能用自然语言对这些集合进行描述吗？有 理 数实 数无 理 数 实相关知识：数的分类整 数分 数 正 整 数零正 整 数 用“”或“”填 空：1.0 _;-3 _;0.5 _;12 _;_;_.3RNZZQR 下 列个 关 系 式：其 中 表 达 正 确 的 有（）个 012.52,0,(),22,.0;.1;.3;.5.NNZQRABBB
7、B除了用自然语言来描述集合外,还能用其它方式来表示集合吗?练习集 合 的 表 示 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来的方法。其一般形式为：a,b,.,d 说明：(1)集合中的元素用逗号隔开，一般不考虑书写顺序(集合中元素有无序性).如 集合-1,0,1与0,-1,1是相同的。(2)列举法一般用于表示元素个数不太多的有限集。当元素呈现一定规律时，元素个数较多甚至无限的集合也可用列举法：按规律列出几个元素，恰当应用省略号。如从1到20中的奇数组成的集：1，3，5，7，.，19正整数集N+：1，2，3，4，.思考4：0与0的相同吗？1,2,3,(1,2),(2,3)与呢?0
8、：元素，且；00 0：含有一个元素0的集合。1,2,3有三元素1,2,3；(1,2),(2,3)有两个元素(1,2)和(2,3)知识探究（三）例1.用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合。(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，则 A=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.(2)设小于10的所有自然数组成的集合为，则 B=0，1.例 析解：思考5：(1)你能用自然语言描述集合0,3,6,9吗？(2)你能用列举法表示不等式x-73的解集吗？由0,3,6,9组成的集合。不等式x-37的解为x10，满足x10的实数有无限个，且不
9、可列出 不等式x-37的解集不能用列举法表示。由于解集中元素具有共同的特征：xR,且x10。我们可采用另外的方法（描述法）来表示：xR|x102.描述法：把集合A中所有具有共同特性P(x)的元素x组成的集合表示为 xA|P(x)的方法。x：集合元素的一般符号A：集合元素的取值范围：分隔符，有时也用”:”或”;”P(x)：集合元素的共同性质 说明：(1)描述法一般用于表示元素个数无限的集合。如 xR|x10 (2)一般地，集合元素x的范围A应明确写出。但若从上下文的关系看，xR，xZ是明确的，xR，xZ可以省略不写。如 xR|x10也可以表示为：x|x10 思考6：偶数的共同特征是怎样的？有理数
10、呢?你能用描述法表示偶数集吗？有理数集呢？偶数集:|21,xZ xkxZ 有理数集:|,0qpxR xp qZ p|21,xZ xkxZ|,0qpxR xp qZ p 例2.分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B。例 析解：(1)xA 设，则2-20 xRx ，且描述集合A用法表示为2|-20AxR x 2-20 x 又方程 的根为1222xx ，列举集合A用法表示为22A ，(2)xB 设，则1020 xZx ，且 B描集合 用述法表示为1020BxZx 1020 又大于且小于的整数有11 12 13
11、 14 15 16 17 18 19，B列集合 用举法表示为11 12 13 14 15 16 17 18 19B ，A可以写成x|x2-2=0吗？B可以写成x|10 x0，B=yZ|y0，C=a|a0；(2)D=x=1,y=1，E=(x,y)|x=1且y=1，F=(1,1);(3)G=y=2x+1，H=x|y=2x+1，K=y|y=2x+1，L=(x,y)|y=2x+1.A,C是所有正实数组成的集合；B是所有正整数组成的集合。集合A,C是相同的。D有两个元素(元素是等式)：x=1和y=1；E,F都有只有一个元素(元素是有序数对)：(1,1)。集合E,F是相同的。G有一个元素(元素是函数解析式
12、)：y=2x+1；H是函数y=2x+1的所有自变量的值组成的集合(定义域)，等于R；K是函数y=2x+1所有函数值的组成的集合(值域)，等于R J是由满足y=2x+1的所有有序实数对(x,y)组成的集合。集合G,H，J都不相同练习用适当的方法表示下列的集合：(1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合；(2)一次函数y=x+3和y=-2x+6的图象交点组成的集合；(3)不等式4x-53的解集。(1)方程x2-9=0的根为-3和3 此集合可用列举法表示为-3,3 另解：这两函数图象的交点(x,y)同时满足解析式y=x+3和y=-2x+6 3(,)|26yxx yyx 此集合可用表示为描述法(3)集合中的实数x都满足不等式4x-53 此此集合可用描述法表示为xR|4x-53解：另解：集合中的实数x都满足方程x2-9=0 此集合可用描述法表示为xR|x2-9=0(2)函数y=x+3和y=-2x+6图象的交点为(1,4)此集合可用列举法表示为(1,4)课堂小结1.本节我们学习了哪些内容？(1)集合、元素的含义以及集合元素的三个性质；(2)集合与元素的关系；(3)用列举法和描述法来表示集合。集合的概念元素集合的含义集合的表示属于不属于关系列举法描述法 2.举例说明用自然语言、符号语言（列举法、描述法）表示集合时各自的特点？作业 教材P56习题1.1 第1，2，3题
