1、3.2 函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时 前面我们学习了函数的定义及表示方法，知道函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，即函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们就可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，就可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律。那么，什么是函数的性质呢？简单的说，函数的性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”。因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律。你还记得函数表示法中图象法的特点吗？函数图象能直观形象地表示出函数的变化趋势；用图象表示函数有利于研究函数的某些性质。因此要
2、研究函数的性质，我们可以首先从函数图象入手。引入 思考：观察下列函数图象，你发现了函数图象的哪些特征，你觉得它们反映了函数哪方面的性质？若我们从图象的升降这个角度来看：图1图2图3图1中的函数图象从左至右的始终是上升的,即函数y始终随着自变量x的增大而增大.图2，3中的函数图象在有的区间上从左至右是保持上升的,即在这些区间上函数y随着自变量x的增大而增大；而在有的区间上从左至右又是保持下降的,即在对应的区间上函数y随着自变量x的增大而减小.我们把函数的这种性质归结为函数的单调性.xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2 当x0,时f(x)=x2图象是上升的。探究新知(一)问题1：在初中，
3、我们学过二次函数y=a(x-h)2+k(a0)，知道若a0，则“当xh时，y随着x的增大而增大”。你能以函数f(x)=x2为例，研究其单调性吗？即f(x)随着x的增大而减小；即f(x)随着x的增大而增大。2()f xx 思考(1)：对于函数f(x)=x2，说说它图象从左到右是怎样变化的？这反映了函数在数量上怎样的变化规律？当x0时，f(x)=x2图象下降的，思考(2):“当x0时，f(x)随着x的增大而减小”,“x增大了”怎么用符号语言来表示?“对应的函数f(x)减小了”呢？结合以下表格，你能给出具体的描述吗？x.-5-4-3-2-1.f(x)=x2.2516941.当x从-5增大到-4时，f
4、(x)从f(-5)=25减小到f(-4)=16；即f(x)随着x的增大而减小；当x从-4增大到-3时，f(x)从f(-4)=16减小到f(-3)=9；当x从-3增大到-2时，f(x)从f(-3)=9减小到f(-2)=4；.思考(3):这样的过程写得完吗？为什么？2()f xx 2()f xx yxOx2x11()f x2()f x即当x0时，只要x1f(x2)思考(4):如何表述这种任意性？你能写出更严格的表达吗？在(-,0上任取 x1、x2，只要x1f(x2)，这时我们说函数f(x)在(-,0上是单调递减的。思考(5):对于函数f(x)=x2，你能模仿以上的方法，给出“在区间0,+)上，f(
5、x)随着x的增大而增大”的符号语言刻画吗？在0,+)上任取 x1、x2，只要x1x2，就有f(x1)f(x2),这时我们说函数f(x)在0,+)上是单调递增的。练习 仿照上述方法，用严格的符号语言刻画函数f(x)=|x|和y=-x2各自的单调性。对于函数f(x)=|x|：在(-,0上，图象从左至右下降；f(x)随着x的增大而减小；任取 x1、x2(-,0，当x1f(x2)，即函数f(x)在(-,0上是单调递减的。同理，任取 x1、x2 0,+)，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，即函数f(x)在(-,0上是单调递增的。对于函数f(x)=-x2：在(-,0上，图象从左至右上升；f(x)随着x
6、的增大而增大；任取 x1、x2 0,+)，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，即函数f(x)在(-,0上是单调递增的。同理，任取 x1、x2(-,0，当x1f(x2)，即函数f(x)在(-,0上是单调递减的。单调递减和减函数单调递增和增函数函数的单调性()f xIDI 一般地，设函数的定义域为，区间 12,xxD 如果 1212,()()xxfxfx 当时都有()fx则称函数在区间上单调递增。1212,()()xxfxfx 当时都有()fx则称函数在区间上单调递减。()()fxfx 特别地，若函数在其定义域上单调递增，则称为增函数。()()fxfx 特别地，若函数在其定义域上单调递减，则称为
7、减函数。()()()fxfxfxDDD 若函数在区间上单调递增(或递减)，则称说在区间上具有严格的单调性，区间叫的单调区间。12注：这里的有x,x 三个特征:(1)属于同一区间；D(2)在上具有任意性；12(3),xx 不相等。返回返回 问题2：(1)设A是区间D上的自变量的某些值组成的集合，而且x1,x2A，当x1x2，都有f(x1)f(x2)，你能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？试举例说明.不能.例如对于函数f(x)=|x|，取区间D=(-4,4),集合A=-1,2,3.则x1,x2-1,2,3，当x1x2，都有f(x1)=|x1|f(x2)=|x2|.但f(x)=|x|在(-4,4)
8、上并不单调递增.()|fxx 又如对于函数f(x)=-x2，取区间D=(-10,10),集合A=(-10,0).则x1,x2(-10,0)，当x1x2，都有f(x1)=x12f(x2)=x22.但f(x)=x2在(-10,10)上并不单调递增。函数的单调性是对定义域I上的某个区间D而言的，自变量在整个区间D上的取值x1和x2（x1x2）具有任意性。不能用自变量在区间D内某两个值来或者区间D一部分内的任意两个值x1，x2来代替。探究新知(二)(2)函数的单调性是对定义域上的某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数吗？在定义域内的某些区间单调而在另一些区间上单调递减的函数吗？函数f(x
9、)=x+1在整个定义域R上单调递增，即是增函数。函数f(x)=x2-2x在(-,1)单调递增，在(1,+)单调递减。yxO1()xf x 1 1 增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质。一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义上不一定具有单调性。22()xxf x yxO211x 它在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递减 但在定义域(-,0)(0,+)上不单调单调递减，即不是减函数。函数的定义域为1()(-,0)(0,)fxx (3)反 比 例 函 数是 减 函 数 吗？1()fxx 一个函数在区间
10、A和B上都具有相同的单调性，但在AB上不一定有这种单调性，即单调区间不能简单合并。(4)函数单调区间的端点是取还是不取？单调性反映的是函数f(x)随自变量x的增大而增大或减小的性质，在单个点上谈单调性没有意义。因此，一般地，对于图象连续不断的函数，若其定义域含区间的端点，则单调区间可以取端点，也可不取不取端点。理解函数的单调性时应把好的几个些问题 (1)函数的单调性是对定义域I上的某个区间D而言的，自变量在整个区间D上的取值x1和x2（x1x2）具有任意性。不能用自变量在区间D内某两个值来或者在区间D内一部分内的任意两个值x1，x2来代替。(2)单调区间不能简单合并。一个函数在区间A和B上都具
11、有相同的单调性，但在AB上不一定有这种单调性。(3)一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义上不一定具有单调性。（4）增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质。(5)一般地，对于图象连续不断的函数，若其定义域含区间的端点，则单调区间可以取端点，也可以不取端点。单调性反映的是函数f(x)随自变量x的增大而增大或减小的性质，在单个点上谈单调性没有意义返回返回练习 请根据右图描述某装配线的生产效率与生产线上工人人数间的关系.在一定范围内，生产效率随着工人人数的增加而提高.当工人人数达到某个数量时，生产效率达到最大值
12、.当工人人数超过这个数量时，生产效率随着工人人数的增加却越来越低。用定义证明函数是增函数。2.()32fxx 证明：1212,xxRxx ，则 函 数定 义 域 为()32fxxR 12()()f xf x 12(32)(32)xx 123()xx 12xx 123()0,xx 即12()()fxfx 是增函数。()32fxx 例 析1.(0)fkxb k （x）例根 据 定 义，研 究 函 数的 单 调 性。()(0)(0)()?10fxkxb kkk 由初中的知识可知，是增函数时 或者减函数时。现在要进行严格的推理说明，关键 思么考：是要说明什 121212()()()()xxf xf x
13、f xf x 对任意的，或者。12(2)()fxfx你还记得如何比较 和思考：大小吗？可以采取作差法，其一般步骤为：(1)作差；(2)变形；目的：便于判定差的符号 常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等(3)定号；当差的符号不确定时，一般需要分类讨论(4)作结论。根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论123xx，应在什么思考：范围内？()fx函 数定 义 域 或 下 的 某 个 区 间。1.(0)fkxb k （x）例根 据 定 义，研 究 函 数的 单 调 性。解：1212,xxRxx ，则 ()fxkxbR 函 数定 义 域 为12()()f xf x 12()()kxbk
14、xb 12()k xx 12120 xxxx 0k 当时，12()0,k xx 12()()f xf x 即()(0).xfkxb k 为 减 函 数 0k 当时，12()0,k xx 12()()f xf x 即()(0).fxkxb k 为 增 函 数 确定取值区间取值比较大小作出结论4由 本 例，你 能 归 纳 一 下 研 究 函 数 单 调 性 的 一 般思 考：步 骤 吗？用定义法研究函数单调性的一般步骤 确定取值区间D：定义域或定义域下的某个区间取值：任取x1，x2D，且x1x2；比较大小：一般情况下，用作差法来比较f(x1)和f(x2)的大小作结论：根据单调性的定义作出结论返回返
15、回练习用定义证明函数是增函数。()32fxx 证明：1212,xxRxx ，则 函 数定 义 域 为()32fxxR 12()()f xf x 12(32)(32)xx 123()xx 12xx 123()0,xx 即12()()fxfx 是增函数。()32fxx 2.()kpkVVp 例物 理 学 中 的 玻 意 耳 定 律为 正 常 数告 诉 我 们，对 于 一 定 量 的 气 体，当 其 体 积减 少 时，压 强将 增 大。试对 此 函 数 的 单 调 性 进 行 证 明。证明：1212(0,),VVVV ，则 (0,)kpV 函 数定 义 域 为12pp 12kkVV 2112kVkV
16、V V 120 VV 120,V V 2112()00,k VVkV V 由得12pp 即.kpV 是 减 函 数确定取值区间取值比较大小作出结论本题实际上是要求我们思考：证明什么？kpVV 是 关 于的 减 函 数2112()k VVV V 210VV Vp当体积减少时，压强将增大.例 析证明函数在单调递增。21.()(-,0)fxx 证明：，则1212(-,0),xxxx 12()()fxfx 1222()()xx 12122()xxx x ，且1212(-,0)xxxx 2122xx 12120,2()0,x xxx 12()()fxfx 即12122()0 xxxx 函 数在单 调 递
17、 增。2()(-,0)fxx 画 出 函 数的 图 象。这 个 函 数 的 定 义 域是 什 么？这 个 函 数 的 单 调 性 是 怎 样 的，证 明 你 的 结 论。2.(1)(2)kyIx 解：yxOyxO当时0k 当时0k 练习的定义域为(1)kyx(,0)(0,)I 当时，(2)0k 在单调递减，在单调递减。(,0)(0,)kyx 在单调递增，在单调递增。(,0)(0,)kyx 当时，0k 证明：当时0k ，且则1212(-,0),xxxx 12yy 12kkxx 2112()kxxx x ，且1212(-,0)xxxx 由得2112()00kxxkx x 12yy，且则1212(0
18、,),xxxx 同 理，12yy 在单 调 递 减，在单 调 递 减。(,0)(0,)kyx 12210,0 x xxx 12yy 2112()kxxx x 当时0k 同 理 可 证在单 调 递 增，在单 调 递 增。(,0)(0,)kyx 1.什么是函数的单调性？什么是单调递增，单调递减，增函数、减函数？小结 2.理解函数的单调性时应把握好哪一些问题？3.通过本节的学习，你认为可如何判定函数的单调性？(1)图象法(直观判断)；(2)定义法(严格推导)。4.通过本节的学习，你对函数性质的研究方法有什么体会？具体函数图象特征(定性刻画)数量刻画(定量刻画)数学符号语言 抽象出单调性的一般定义 判定具体函数的单调性。作 业 教材P86习题3.2第1,2,3题布置作业作业作业:课本课本39页页A组第组第1、2、3题题
