1、问题提出：从生活里这些图片中你感受到了什么？问题提出：从生活里这些图片中你感受到了什么？观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类Oxy2)(xxfOxyxxf)(Oxy|)(xxfOxy|1)(xxfOxy3)(xxf3.2.2 函数的奇偶性函数的奇偶性从对称的角度，观察下列函数的图象：从对称的角度，观察下列函数的图象：f(x)=x2,g(x)=2-|x|这两个函数的图象都关于这两个函数的图象都关于y轴对称轴对称.请列出从请列出从-3 3到到3 3这一段区间上，两个函数的对应值表，并思这一段区间上，两个函数的对应值表，并思考：自变
2、量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量考：自变量取值互为相反数时，函数值如何变化，有怎样的等量关系？关系？g(x)2x-是否有相同的等思考：量关系？1偶函数偶函数 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(-x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数)()(xfxf-思考：是否具有以下等式就能成为偶函数思考：是否具有以下等式就能成为偶函数?图象关于图象关于y y轴对称轴对称f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)形的对称形的对称数的对称数的对称偶函数偶函数（或（或f(x)-f(-x)=0）观察下面的函数图象，是否关
3、于观察下面的函数图象，是否关于y y轴对称？轴对称？a 如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它的定义域应该有轴对称，那么它的定义域应该有什么特点什么特点？定义域应该关于原点对称定义域应该关于原点对称.注意：注意：1.偶函数指的是函数的偶函数指的是函数的整体性质整体性质，是在，是在整个定义域整个定义域内来说的内来说的.2.判断偶函数的步骤：判断偶函数的步骤：(1)先看定义域先看定义域是否关于原点对称是否关于原点对称.(2)若是若是，再判断，再判断f(-x)=f(x)（或（或f(x)-f(-x)=0）是否恒成立是否恒成立.观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象
4、的图象(下图下图)，你能发现两个函数图，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3)f(-2)=-2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)f(-3)=-1/3=-f(3)f(-2)=-1/2=-f(2)f(-1)=-1=-f(1)两个函数的图象都关于原点对称两个函数的图象都关于原点对称.当自变量当自变量x x取一对相反数时，相应的函数值取一对相反数时，相应的函数值f(x)f(x)也是也是一对相反数，即一对相反数，即f(-x)=-f(x).一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的的定义域内定义域内的任意一个的任意一个x，都有，都有f(-x)=-f(x
5、)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇函数奇函数 2 2奇函数奇函数图象关于原点对称图象关于原点对称f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)形的对称形的对称数的对称数的对称奇函数奇函数（或（或f(x)+f(-x)=0）应用同样的方法给出应用同样的方法给出奇函数的注意事项奇函数的注意事项.想一想？想一想？如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于原点原点对称，那么它的定义域应该有什对称，那么它的定义域应该有什么特点么特点？定义域应该关于原点对称定义域应该关于原点对称.例例1.根据下列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性判断函数奇偶性.112)(2+xxfyxoyxxxf)(oyx-122
6、,1,)(2-xxxfoyx-11311(),1,)(,122f xxx -o21例例2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:2(3)()1,1,2f xxx+-4(2)()f xx1(1)()f xxx+3(4)()1f xx+判断函数奇偶性的步骤：判断函数奇偶性的步骤：1.先看定义域先看定义域是否关于原点对称是否关于原点对称.2.若是，则再判断若是，则再判断f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x)是否恒成立是否恒成立；若不是，则若不是，则f(x)为为非奇非偶函数非奇非偶函数.5()=（）f xx6()=0（）f x判断或证明函数奇偶性的基本步骤：判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
7、()f xfx一看 二找 三判断 找关系 下结论 看定义域 是否关于原点对称 与(-)奇或偶221(1)()(2)()1(3)()5 (4)()1(5)(),1,3 f xxf xxxf xf xxf xx x-+-练习练习1.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：例例3.已知函数已知函数y=f(x)是是偶偶函数，它在函数，它在y轴右边的图轴右边的图象如下图，画出在象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0相等相等xy0相等相等注意：注意：奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：A、简化函数图象的画法简化函数图象的画法.B、判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性练习练习2.
8、2.画出下列函数的图象画出下列函数的图象（1 1）（2 2）22yxx-1yxx+课堂小结：课堂小结：2 2、奇偶函数图象的性质：、奇偶函数图象的性质：定义域：关于原点对称定义域：关于原点对称图象图象偶函数图象关于偶函数图象关于y轴对称轴对称奇函数图象关于原点对称奇函数图象关于原点对称奇偶性对定义域内任意一个奇偶性对定义域内任意一个x都成立都成立.偶函数偶函数奇函数奇函数既奇又偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数作业布置作业布置正本作业：正本作业：P86习题习题3.2 A组组 第第5题题 第第11题：去掉题：去掉“画出函数画出函数f(x)f(x)的图象的图象”第第12题题 21.22xf
9、 xx-+-:思考1 判断函数的奇偶性解：解：21110110,0422-1,00,1.xxxxxxxf x-+由且且的定义域为：222111,22,.xxxf xfxxxxfxf xf x-+-故为奇函数第二课时第二课时 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用3.2.2 函数的奇偶性函数的奇偶性知识探究（一）知识探究（一）思考思考1:1:是否存在函数是否存在函数f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数？既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？若存在，这样的函数有何特征？f(x)=0f(x)=0思考思考2:2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？思考思考
10、3:3:若若f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，则上的奇函数，则f(0)f(0)的值如何？的值如何？f(0)=0f(0)=04 4思考思考4:4:如果函数如果函数f(x)f(x)为奇函数为奇函数,a,a 0 0，则函数则函数af(x)af(x)，f(ax)f(ax)的奇偶性如何？的奇偶性如何？思考思考5:5:常数函数常数函数 具有奇偶性吗？具有奇偶性吗？()(0)f xa a奇函数奇函数思考思考1:1:如果函数如果函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是奇函数，都是奇函数，那么那么f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)-g(x)f(x)-g(x)，f(x)f(x)g(
11、x)g(x)，f(x)f(x)g(x)g(x)的奇偶性如何？的奇偶性如何？思考思考3:3:如果如果f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的任意一个函数，上的任意一个函数，那么那么f(x)+f(-x)f(x)+f(-x)，f(x)-f(-x)f(x)-f(-x)奇偶性如何？奇偶性如何？f(x)+f(-x)f(x)+f(-x)是偶函数是偶函数f(x)-f(-x)f(x)-f(-x)是奇函数是奇函数知识探究（二）知识探究（二）偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数思考思考2 2:(1):(1)二次函数二次函数 是偶函数的条件是什么？是偶函数的条件是什么？(2)(2)一次函数一次函数 是奇
12、函数的条件是什么？是奇函数的条件是什么？2()f xaxbxc+()f xkxb+b=0b=0例例1.1.设函数设函数f(x)是定义是定义在在R R上的奇函数。且上的奇函数。且 202.xf xxx-当时，2_,20Rffxf xf x-(1)求=_；(2)求当时，的解析式；(3)求在 上的解析式。6 6-6-6 R.f xfxf x-又在 上是奇函数。220022.xxfxxxxx-+(2)当时，-.则 222.2f xfxxxxx-+-22.0 xf xxx-当时，2220.22,30 xxxf xxx x-已知及得，由 练习练习1 1：A A1.1.已知已知f(x)ax23x是奇函数，则
13、是奇函数，则a=_a=_2.2.已知已知 是奇函数，则是奇函数，则a=_.a=_.1xfxxbx+-练习练习2 2：0 01 1 3.3.设函数设函数 ，若若 是偶函数，则实数是偶函数，则实数m=_.m=_.2()23f xxmx-+(1)f x-4-42.(1)设设f(x)ax3bx，f(2)10,则则 f(2)=_.2020(2)设设g(x)ax3bx5，g(2)10,则则 g(2)=_.1010(2)已知函数已知函数yf(x)是是R上的偶函数上的偶函数，且当且当x0时时，f(x)_x2+x例例2.2.已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数，且在上的偶函数，且在 上是上是
14、增函数，增函数，f(-2)=0f(-2)=0，求不等式，求不等式 的解集的解集.练习练习3 3：A AD D(1)证明证明:令令xy0，得，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.(2)令令yx，得，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，f(x)是奇函数是奇函数(3)(3)令令xy0.50.5，得，得f(2)=f(1)+f(1)=1f(2)=f(1)+f(1)=1，由由f(m)f(m+1)11，得，得f(2m+1)f(2f(2m+1)f(2)，又又f(x)在在0,2上为增函数且在上为增函数且在2,2上为奇函数，上为奇函数，f(x)在在2,2上为增函数，上为增函数，2221 221 2
15、.mmm-+2231121.2mmmm-即得112mmm的取值范围为1例例3.3.设设f(x)f(x)是是定义在定义在 2,22,2上的函数上的函数,且满足且满足f(xy)f(x)f(y)，(1)求求f(0)的值；的值；(2)求证：求证：f(x)是奇函数；是奇函数；(2)f(x)(2)f(x)在在0,2上单调递上单调递增增且且f(1)0.50.5,若若f(m)f(m+1)1+1)1,求实数求实数m的取值范围的取值范围 练习练习4 4：函数函数f(x)的定义域为的定义域为D=xIx0，且满足对于任意，且满足对于任意x，yD，有有f(xy)f(x)f(y)(1)求求f(1)的值；的值；(2)判断判
16、断f(x)的奇偶性并证明你的结论；的奇偶性并证明你的结论；(3)已知已知f(m1)0且且f(x)在在(0，)上是增函数，求上是增函数，求m的取值范围的取值范围解解(1)对于任意对于任意x，yD，有，有f(xy)f(x)f(y)，令令xy1，得，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数为偶函数证明：令证明：令xy1，有，有f(1)f(1)f(1)，f(1)0.令令y1,有有f(x)f(x)f(1)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数为偶函数(3)由由(2)知，知，f(x)是偶函数，是偶函数，f(m1)0f(|m1|)f(1)又又f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数，0|m1
17、|1，解之得，解之得0m2且且m1，m的取值范围是的取值范围是x|0m)6 6，得，得f(2x-2)+f(-x)f(2)f(2)得得f(x-2)f(2f(2)，又又f(x)f(x)是是R上的减函数上的减函数x-22 2，得，得x)6 6不等式不等式f(2x-2)-f(x)6)6的解集是的解集是xxIx4.4.思考思考2.2.已知函数已知函数f(x)f(x)是奇函数，且在（是奇函数，且在（0 0，+）上是）上是减函数，证明函数在（减函数，证明函数在（-，0 0）上也是减函数）上也是减函数.所以所以-f(x-f(x1 1)+f(x)+f(x2 2)0)f(x)f(x2 2).证明：在证明：在（-，0 0）上任取）上任取x x1 1x-x-x2 200因为函数在（因为函数在（0 0，+）上是减函数，）上是减函数，所以所以12()()0fxfx-即由于函数由于函数f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，所以所以1122()(),()()fxf xfxf x-所以函数所以函数f(x)f(x)在（在（-，0 0）上是减函数）上是减函数.12()()fxfx-(-,0)(0,+)奇函数增增减减偶函数增减减增在关于原点的对称区间奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反。
