1、1.4.2 1.4.2 充要条件充要条件我们初中学过的勾股定理内容是什么？我们初中学过的勾股定理内容是什么？复习回顾1勾股定理：如果勾股定理：如果ABC为直角三角形，那么为直角三角形，那么a2+b2=c2.在勾股定理中：在勾股定理中：“ABC为直角三角形为直角三角形”是是“a2+b2=c2”的的_条件条件;“a2+b2=c2”是是“ABC为直角三角形为直角三角形”的的_条件条件.充分充分设a,b,c分别是ABC的三条边，且a b c.必要必要我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？我们初中学过的勾股定理的逆定理内容是什么？勾股定理的逆定理：如果勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2.，那么，
2、那么ABC为直角三角为直角三角形形.在勾股定理的逆定理中：在勾股定理的逆定理中：“ABC为直角三角形为直角三角形”是是“a2+b2=c2”的的_条件条件;“a2+b2=c2”是是“ABC为直角三角形为直角三角形”的的_条件条件.必要必要设a,b,c分别是ABC的三条边，且a b c.充分充分复习回顾1勾股定理及其逆定理有何关系？勾股定理及其逆定理有何关系？勾股定理：如果勾股定理：如果ABC为直角三角形，那么为直角三角形，那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：如果勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2.，那么，那么ABC为直角三角为直角三角形形.“若p，则q”“若q，则p”互为逆命题.1.将命
3、题将命题“若若p，则，则q”中的条件中的条件p和结论和结论q互换，就得到一个新的命题互换，就得到一个新的命题“若若q，则，则p”，称这个命题为原命题的逆命题，称这个命题为原命题的逆命题.2.原命题与逆命题都是真命题原命题与逆命题都是真命题.复习回顾1下列下列“若若p，则，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？题都是真命题？数学建构2思考思考1(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；若两个三角形全等，
4、则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则ac0；(4)若若AB是空集，则是空集，则A与与B均是空集均是空集 下列下列“若若p，则，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？题都是真命题？数学建构2思考思考1(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(4)若若AB是空集，则是空集，则A与与B均是空集均是空集(1)p:两个三角形的两角和其两个三角形的两角和其中一角所对的
5、边分别相等中一角所对的边分别相等q:两个三角形全等(4)p:AB是空集是空集q:A与B均是空集数学建构2充要条件如果如果“若若p，则，则q”和它的逆命题和它的逆命题“若若q，则，则p”均是真命题，均是真命题，即既有即既有p q，又有，又有q p，就记作，就记作p q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件判断判断(2)(3)中原命题与逆命题的真假中原命题与逆命题的真假.数学建构2思考思考2(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二
6、次方程若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则ac0；p:两个三角形全等q:两个三角形 的周长相等 p:一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根q:ac0，q:x0，y0；(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a 0)例3知识应用4下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；例3知识应用4,pqqp 且且p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件下列各题中，哪些p是q的充要条件？(2)p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；例3知识应用4,p
7、qp是是q的充要条件的充要条件下列各题中，哪些p是q的充要条件？(3)p:xy0，q:x0，y0；例3知识应用4,pqqp 且且p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件下列各题中，哪些p是q的充要条件？(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q:a+b+c=0(a 0)例3知识应用4,pqp是是q的充要条件的充要条件你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？探究知识应用4定义：“四边形的两组对边分别平行”“四边形的两组对角分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的对角线互相平分”根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义你能
8、给出你能给出“三角形全等三角形全等”或或“三角形相似三角形相似”的其他形式的定义吗？的其他形式的定义吗？思考思考3四边形是平行四边形四边形是平行四边形已知：O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d求证：d=r是直线 l与O相切的充要条件.例4知识应用4分析：设p：d=r，q：直线l与O相切要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可.证明：(1)充分性(pq)：如图，作OPl 于点P,OPQl在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ在RtOPQ中，OQOP=r所以，除点P外直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P所以直线l与O相切 则OP=d,若d=r,
9、则点P在O上直线直线l和圆有唯一公共点和圆有唯一公共点已知：O的半径为r，圆心O到直线l 的距离为d求证：d=r是直线 l与O相切的充要条件.例4知识应用4分析：设p：d=r，q：直线l与O相切要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可.证明：若直线l与O相切，OPQl不妨设切点为P，则OPl因此，d=OP=r由(1)(2)可得，d=r是直线l与O相切的充要条件(2)必要性(qp)直线直线l和圆有唯一公共点和圆有唯一公共点1.充要条件的定义充要条件的定义课堂小结52.充要条件与数学定义的关系充要条件与数学定义的关系充分不必要条件充分不必要条件必要不充分条件必要不充分条
10、件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件充要条件充要条件(2),pqqppq 若若且且则则 是是 的的(4),pqqppq若若且且则则 是是 的的(1),pqqppq 若若且且则则 是是 的的(3),pqqppq若若且且则则 是是 的的根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义当堂检测6 教材教材P22 练习练习13练习1.下列各题中，哪些下列各题中，哪些p是是q的充要条件？的充要条件？(1)p:三角形为等腰三角形，三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；三角形存在两角相等；(2)p:O内两条弦相等，内两条弦相等，q:O内
11、两条弦所对的圆周角相等；内两条弦所对的圆周角相等；(3)p:AB是空集，是空集，q:A与与B之一为空集之一为空集,pqp是是q的充要条件的充要条件ABCD,pq ,pq p不是不是q的充要条件的充要条件p不是不是q的充要条件的充要条件思考思考:(2)(3)中中p是是q的什么条件？的什么条件？当堂检测6 教材教材P22 练习练习13练习2.分别写出分别写出“两个三角形全等两个三角形全等”和和“两个三角形相似两个三角形相似”的几个充要条件的几个充要条件.“两个三角形的三边相等”“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”两个三角形全等两个三角形全等“两个三角形的三边成比例”“两个三角形的其中两角相等”“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”两个三角形相似两个三角形相似当堂检测6 教材教材P22 练习练习13练习3.证明：如图，梯形证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为为等腰梯形的充要条件为AC=BD.分析：设分析：设p：AC=BD.充分性:AC=BD梯形ABCD为等腰梯形.AB=CD q：梯形：梯形ABCD为等腰梯形为等腰梯形.必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD.
