1、2021-2022学年高一数学尖子生必刷题（人教A版2019必修第一册）1.4 充分条件和必要条件一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意1“”是“关于的方程有实数解”的（ ）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要2已知，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3“”是二次函数 经过原点”的（ ）A充分条件B必要条件C既是充分条件也是必要条件D既不是充分条件也不是必要条件4若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是（ ）ABCD5已知，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（ ）ABCD6在如图电路中，条件p：开关A
2、闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7若“-1x-m1”成立的充分不必要条件是“x3，q：x29.15设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是_16若“条件：”是“条件：”的充分条件，则的取值范围是_.四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c
3、分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.18判断下列命题的真假：（1）是的必要条件；（2）是的充要条件；（3）两个三角形的两组对应角相等是这两个三角形相似的充要条件；（4）三角形的三条边满足勾股定理是这个三角形为直角三角形的充要条件；（5）在中，重心和垂心重合是为等边三角形的必要条件；（6）如果点到点的距离相等，则点一定在线段的垂直平分线上.19求至少有一个负实根的充要条件20已知集合A，Bx|xm21命题p：xA，命题q：xB，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围.21已知命题p：关于x的方程x2(3m2)x2m2m30有两个大于1的实数根（1）若命题p为真命题，
4、求实数m的取值范围；（2）命题q：3am3a，是否存在实数a使得p是q的必要不充分条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由22已知ab0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)参考答案1A【解析】若关于的一元二次方程有实数解，则，解得，所以“”是“关于的一元二次方程有实数解”的充分不必要条件故选：2A【解析】因为，所以“”则“”；“”则“”不一定成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3A【解析】“” ，二次函数一定经过原点；二次函数经过原点， ， 不一定等于0.所以，“”是二次函数 经过原点”的充
5、分条件.故选: A4C【解析】由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知故选：C5D【解析】由是的必要条件，可得，解得故选：D.6A【解析】若开关A闭合，则灯泡B亮，所以条件p可以推出条件q；若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合，不能确定开关A闭合，条件q推不出条件p；所以p是q的充分不必要条件.故选：A.7B【解析】不等式-1x-m1等价于：m-1xm+1，由题意得“x”是“-1x-m3q：x29，所以p是q的充要条件.故答案为：15(1)(4)【解析】图(1)开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，pq，但q/p，所以p是q的充分不必要条件图(2)pq，p是q的充要
6、条件图(3)开关S，S1与灯泡L串联，p/q，qp，p是q的必要不充分条件图(4)开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，pq，但q/p，p是q的充分不必要条件16【解析】设p对应的集合为,q对应的集合为,若p是q的充分条件,则,解得:.实数m的取值范围为，故答案为.17为锐角三角形的充要条件是.为钝角三角形的充要条件是.证明见解析【解析】解:(1)设a,b,c分别是的三条边,且,为锐角三角形的充要条件是.证明如下:必要性:在中,是锐角,作,D为垂足,如图(1).显然,即.充分性:在中,不是直角.假设为钝角,如图(2).作,交BC延长线于点D.则.即,与“”矛盾.故为锐角,即为
7、锐角三角形. (2)设a,b,c分别是的三条边,且,为钝角三角形的充要条件是.证明如下:必要性:在中,为钝角,如图(2),显然:.即.充分性:在中,不是直角,假设为锐角,如图(1),则.即,这与“”矛盾,从而必为钝角,即为钝角三角形.18（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.【解析】若则不一定成立,例如:,故是的必要条件为假命题;因为而,所以是的充要条件为真命题;由相似三角形的判定定理可知,此命题为真命题;由勾股定理的内容可知,必要条件成立,由勾股定理的逆定理可知,充分条件成立,故此命题为真命题;若三角形为等边三角形，则其垂心和重心重合,显然成立,
8、故此命题为真命题;由垂直平分线的性质可得,此命题为真命题.19【解析】（1）时方程为一元一次方程，其根为，符合题目要求.（2）当时，方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判断式，即，从而，又设方程的两根为，则由韦达定理得方程有一个负实根的充要条件是，得，方程有两个负根的充要条件是，即,综上，至少有一个负实根的充要条件是：.20或.【解析】化简集合，由，配方，得.，.，化简集合，由，命题是命题的充分条件，.，解得，或.实数的取值范围是.21（1）m2；（2）存在a1.【解析】（1）由x2(3m2)x2m2m30得x(m1)x(2m3)0，所以xm1或x2m3，因为命题p为真命题，所以m11且2
9、m31，得m2 （2）设集合A，集合B，因为p是q的必要不充分条件，所以B A， 当B时，解得a0；当B时，解得 综上所述：存在a1，满足条件22证明见解析【解析】设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.（1）充分性(pq)：因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，因为ab0，a2-ab+b2=+b20，所以a+b-1=0，即a+b=1.（2）必要性(qp)：因为a+b=1，所以b=1-a，所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，综上所述，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
